Các dạng bài tập toán về phương trình mặt đường tròn là trong số những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy "dễ thở hơn" do nội dung cũng khá ví dụ và dễ dàng hiểu, tuy nhiên nội dung này cũng không thiếu các bài xích tập khó nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn lớp 10


Vì vậy, trong bài viết này họ cùng khối hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình mặt đường tròn, áp dụng giải qua các ví dụ minh hoạ rứa thể, nhằm từ đó các em tiện lợi vận dụng cùng phân nhiều loại khi gặp mặt các dạng bài bác tập về con đường tròn.

Đây cũng chính là nội dung căn nguyên cho kiến thức và kỹ năng về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài bác tập đường tròn thì bọn họ phải nắm rõ được đặc điểm của con đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Lý thuyết về phương trình con đường tròn

1. Phương trình con đường tròn:

- Phương trình con đường tròn bao gồm tâm I(a;b), nửa đường kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- nếu như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của con đường tròn tâm I(a;b), phân phối kính 
*

2. Phương trình tiếp tuyến của mặt đường tròn

- mang đến điểm M0(x0; y0) nằm trên tuyến đường tròn (C) chổ chính giữa I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Các dạng bài xích tập phương trình mặt đường tròn.

Dạng 1: dìm dạng phương trình mặt đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình con đường tròn

* Phương pháp:

+) biện pháp 1: Đưa phương trình đã mang đến về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = phường (*)

 - Nếu p. > 0 thì (*) là PT con đường tròn trung khu I(a;b) và chào bán kính 

*

 - nếu P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT con đường tròn.

+) bí quyết 2: Đưa phương trình đã đến về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt p. = a2 + b2 - c 

 - Nếu p. > 0 thì (**) là PT con đường tròn trung ương I(a;b) và nửa đường kính

*

 - trường hợp P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT con đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào màn biểu diễn phương trình đường tròn, tìm vai trung phong và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta bao gồm a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- tựa như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- giống như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đấy là phương trình con đường tròn trung ương I(2;1) nửa đường kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này chưa hẳn pt mặt đường tròn vì thông số của x2 với y2 khác nhau.

 Ví dụ 2: Cho con đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm đk của m nhằm (Cm) là phương trình con đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt đường tròn kiếm tìm toạ độ trọng điểm và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình đường tròn thì: m2 +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ mét vuông + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với điều kiện trên thì (Cm) có tâm I và bán kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) tìm quỹ tính trọng tâm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu ý: Nếu α = kπ mặt đường tròn là một trong điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 lúc sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα gồm toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 đó là quỹ tích trọng điểm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình mặt đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - search toạ độ trung ương I(a;b) của đường tròn (C)

 - Tìm nửa đường kính R của (C)

 - Viết phương trình con đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° biện pháp 2: Giả sử phương trình con đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ đk bài toán cho tùy chỉnh cấu hình hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ tìm a, b, c gắng vào pt con đường tròn (C).

* lưu lại ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 với thường được vận dụng vào việc yêu ước viết phương trình đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC (chính là viết pt con đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình con đường tròn (C) trong những trường hợp sau:

a) tất cả tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0)

b) Có 2 lần bán kính AB cùng với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) gồm tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0):

- Ta tất cả R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) tất cả tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta bao gồm toạ độ vai trung phong I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- bán kính 

*

⇒ Đường tròn (C) bao gồm tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) bao gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- vày (C) đi qua A, B, C buộc phải thay theo lần lượt toạ độ A, B, C vào pt mặt đường tròn (C) ta có hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ bên trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với con đường thẳng

* Phương pháp: dựa vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với mặt đường thẳng (Δ) trên điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình con đường tròn (C) trong mỗi trường thích hợp sau:

a) (C) tất cả tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) cùng tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(2;5) và tiếp xúc cùng với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của mặt đường tròn là khoảng cách từ I cho Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình con đường tròn (C) có dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình đường tròn (C) tất cả dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) cùng tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- bởi vì A nằm ở góc phần tư thứ tư đề nghị đường tròn cũng phía bên trong góc phần tư thứ tư này, buộc phải toạ độ chổ chính giữa I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy bao gồm 2 con đường tròn thoả mãn đk bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình mặt đường tròn có bán kính bằng R=√10 gồm tâm trực thuộc d1 cùng tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- vai trung phong I ∈ d1 phải I(-2a+3;a) vì chưng (C) xúc tiếp với d2 bắt buộc ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) với I2(-21;12)

⇒ bao gồm 2 đường tròn thoả mãn đk là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 cùng (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm vị trí (d): x - 2y + 1 = 0 xúc tiếp với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) bởi vì (C) tiếp xúc với (d1) với (d2) cần ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy có 2 mặt đường tròn vừa ý điều kiện.

- với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình con đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình con đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° biện pháp 1:

- Tính diện tích s S cùng nửa chu vi p của tam giác nhằm tính được bán kính đường tròn 

*

- gọi I(a;b) là trung tâm của đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác đều nhau và bởi r, từ kia lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình con đường tròn.

° giải pháp 2:

- Viết phương trình mặt đường phân giác trong của 2 góc vào tam giác.

- tìm kiếm giao điểm 2 con đường phân giác kia ta được trọng điểm I của con đường tròn

- Tính khoảng cách từ I cho tới 1 cạnh ngẫu nhiên của tam giác ta được bán kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O nên tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ trọng điểm I của mặt đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ buôn bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta đang tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta gồm

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- bởi vì đường tròn xúc tiếp với 2 trục toạ độ yêu cầu tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo vì 3 con đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn ABC là tam giác đã đến với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta gồm VTPT:

*
,
*
 

- dễ thấy tam giác vuông tại A do 

*

- Tính độ dài những cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

- diện tích s tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- nửa đường kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

Xem thêm: Học Phí Đại Học Công Nghiệp Hà Nội Năm 2021 Mới Nhất, Học Phí Đại Học Công Nghiệp Hà Nội 2021

- Gọi nửa đường kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng vẫn cho các là r=5 phải ta có.