Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$ nếu (x_1,x_2) là nhị nghiệm của phương trình thì (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac - ba\x_1 cdot x_2 = dfraccaendarray ight..)
Ví dụ: Phương trình (2x^2-5x+2=0) có ( Delta=9>0) cần phương trình bao gồm hai nghiệm (x_1;x_2).
Bạn đang xem: Vi et lớp 9
Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac 52\x_1 cdot x_2 = dfrac22=1endarray ight..)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$
Nếu phương trình tất cả (a + b + c = 0) thì phương trình có một nghiệm là (x_1 = 1,) nghiệm kia là (x_2 = dfracca.)
Nếu phương trình tất cả (a - b + c = 0) thì phương trình tất cả một nghiệm là (x_1 = - 1,) nghiệm tê là (x_2 = - dfracca.)
+) Tìm nhị số biết tổng với tích của chúng : nếu như hai số bao gồm tổng bởi $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2 - SX + p. = 0$ (ĐK: $S^2 ge 4P$)
Ví dụ:
+ Phương trình (2x^2-9x+7=0) bao gồm (a+b+c=2+(-9)+7=0) nên bao gồm hai nghiệm (x_1=1;x_2=dfracca=dfrac72)
+ Phương trình (2x^2+9x+7=0) tất cả (a-b+c=2-9+7=0) nên có hai nghiệm (x_1=-1;x_2=-dfracca=-dfrac72)
2. Những dạng toán thường chạm mặt
Dạng 1: ko giải phương trình, tính quý hiếm biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm đk để phương trình tất cả nghiệm : $left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.$. Trường đoản cú đó vận dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = x_1 + x_2 = - dfracba$ và $P = x_1x_2 = dfracca$.
Bước 2 : Biến thay đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài bác theo tổng $x_1 + x_2$ với tích $x_1x_2$, tiếp đến áp dụng cách 1.
Một số biểu thức đối xứng giữa những nghiệm thường gặp là :
+) $A = x_1^2 + x_2^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2= S^2 - 2P$
+) $B = x_1^3 + x_2^3$
$= left( x_1 + x_2 ight)^3 - 3x_1x_2left( x_1 + x_2 ight)= S^3 - 3SP$
+) $C = x_1^4 + x_2^4 = left( x_1^2 + x_2^2 ight)^2 - 2x_1^2x_2^2$
$= left< left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2 ight>^2 - 2left( x_1x_2 ight)^2= left( S^2 - 2P ight)^2 - 2P^2$
+) $D = left| x_1 - x_2 ight| $
$= sqrt left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2 $.
+)
$E = left( x_1 - x_2 ight)^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2$
$= S^2 - 4P $.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.
+) nếu như phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình bao gồm một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm cơ là $x_2 = dfracca.$
+ ) nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình gồm một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm cơ là $x_2 = - dfracca.$
+) trường hợp $x_1,x_2$ là nhì nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\P = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.
Dạng 3 : so với tam thức bậc nhì thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ gồm hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.
Dạng 4 : Tìm nhì số lúc biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số $x,y$ lúc biết tổng $S = x + y$ với tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + phường = 0$ để tìm những nghiệm $X_1,X_2$.
Bước 2: khi đó những số bắt buộc tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.
Dạng 5 : bài toán liên quan đến dấu những nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Lúc đó:
1. Phương trình bao gồm hai nghiệm trái vệt ( Leftrightarrow ac 0\P > 0endarray ight.).
3. Phương trình bao gồm hai nghiệm dương phân minh ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).
4. Phương trình bao gồm hai nghiệm âm tách biệt ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Dạng 6 : khẳng định điều khiếu nại của tham số nhằm nghiệm của phương trình thỏa mãn nhu cầu điều kiện đến trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình tất cả nghiệm (left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.).
Bước 2. Từ hệ thức đã đến và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3.
Xem thêm: Khái Quát Về Hô Hấp Ở Thực Vật Là Gì ? Bản Chất, Các Nhân Tố Ảnh Hưởng
Kiểm tra đk của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.