Hướng dẫn giải bài bác §3. Giá chỉ trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích tất cả trong SGK để giúp các em học sinh học giỏi môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Toán 12 trang 23

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác minh trên tập $D$.

– Số $M$ là giá bán trị lớn số 1 (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm sao cho f(x_0) = M hfill cr ight.)

Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)

– Số $m$ là giá chỉ trị bé dại nhất (GTNN) của hàm số $f$ bên trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm sao cho f(x_0) = m hfill cr ight.)

Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)

2. Phương pháp tính GTLN với GTNN của hàm số bên trên một đoạn

Định lí:

Mọi hàm số tiếp tục trên một đoạn đều sở hữu GTLN với GTNN bên trên đoạn đó.

Quy tắc kiếm tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) tiếp tục trên đoạn

– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại kia f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) ko xác định.

– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .

– lúc đó: (undersetmax f(x)=max left f(a); f(b); f(x_i) ight \);

(undersetmin f(x)=min left f(a); f(b); f(x_i) ight ;)

Để kiếm tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo gần cạnh sự biến hóa thiên của hàm số bên trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà tóm lại về GTLN và GTNN của hàm số.

Dưới đấy là phần hướng dẫn trả lời các thắc mắc và bài xích tập vào phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang đôi mươi sgk Giải tích 12

Xét tính đồng biến, nghịch phát triển thành và tính giá chỉ trị to nhất, giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số:

a) $y = x^2$ trên đoạn $<-3; 0>$;

b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) trên đoạn $<3; 5>$.

Trả lời:

a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch biến hóa trên đoạn $<-3,0>$.

Khi đó trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt giá chỉ trị lớn số 1 tại $x = -3$ cùng giá trị lớn nhất bằng $9$, hàm số đạt giá chỉ trị bé dại nhất trên $x = 0$ với giá trị nhỏ nhất $= 0$.

b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 21 sgk Giải tích 12

*

Trả lời:

Hàm số:

(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 23 sgk Giải tích 12

Lập bảng vươn lên là thiên của hàm số (f(x) = – frac11 + x^2).

Từ kia suy định giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên tập xác định.

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

(y’ = frac2x(1 + x^2)^2). Cho $y’ = 0$ thì $x = 0.$

– Bảng trở nên thiên:

*

Vậy giá trị bé dại nhất của hàm số đã chỉ ra rằng $ -1$ trên $x = 0$.Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

aryannations88.com giới thiệu với các bạn đầy đủ cách thức giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của bài bác §3. Giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ vật thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị bự nhất, giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên những đoạn (<-4; 4>) cùng (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên những đoạn (<0;3>) cùng (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên các đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập xác định (D=mathbbR).

– Hàm số liên tục trên những đoạn <-4;4> với <0;5> nên bao gồm GTLN với GTNN trên từng đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ bên trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ bên trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– giá trị nhỏ dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập xác minh $D=R$

– Hàm số liên tiếp trên các đoạn (<0;3>) cùng (<2;5>) nên có GTLN và GTNN trên những đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– giá trị lớn số 1 của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ bên trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– giá trị lớn số 1 của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số gồm tập xác định D = R 1 và thường xuyên trên những đoạn <2;4> cùng <-3;-2> nằm trong D, vì vậy hàm số gồm GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta tất cả :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) cùng (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ bên trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số bao gồm tập xác minh ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên khẳng định và tiếp tục trên đoạn <-1;1>, cho nên vì thế có GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài bác 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy search hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

♦ biện pháp 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ vật dụng tự là chiều dài và chiều rộng lớn của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

Khi kia chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng tầm $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng biến chuyển thiên:

*

Từ bảng vươn lên là thiên ta thấy hàm số đạt giá chỉ trị lớn nhất tại x=4 khi đó maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông vắn có cạnh bằng $4$ là hình có diện tích s lớn nhất.

3. Giải bài xích 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong toàn bộ các hình chữ nhật thuộc có diện tích s $48 m^2$, hãy xác minh hình chữ nhật có chu vi nhỏ dại nhất.

Bài giải:

♦ cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si:

*

♦ giải pháp 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn số 1 và nhỏ tuổi nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng lớn của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi kia chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) bên trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign & undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ và Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng trở thành thiên:

*

Từ bảng trở nên thiên ta có: (min p. = 16sqrt 3) lúc (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình gồm chu vi nhỏ tuổi nhất theo yêu thương cầu bài bác toán.

4. Giải bài 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá trị mập nhất của các hàm số sau:

a) (y=frac41+x^2).

Xem thêm:
Make A Point Là Gì ? Make A Point Có Nghĩa Là Gì

b) (y=4x^3-3x^4).

Bài giải:

a) (y=frac41+x^2.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)

(undersetx o pm infty mathoplim ,frac41+x^2=0.)

Ta gồm bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng biến đổi thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)

b) (y=4x^3-3x^4.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ và x=1 \ endalign ight..)

(undersetx o pm infty mathoplim ,y=undersetx o pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)

Ta gồm bảng biến hóa thiên:

*

Theo bảng đổi mới thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)

5. Giải bài bác 5 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá trị nhỏ tuổi nhất của những hàm số sau:

a) (y = left | x ight |);

b) (y = x+frac4x ( x > 0))

Bài giải:

a) (y=left| x ight|.)

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

Tập xác định: (D=R.)

Ta gồm bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng đổi mới thiên ta gồm hàm số đạt GTNN tại (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)

b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)

Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalign& x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ & x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)

Bảng biến đổi thiên:

*

Từ bảng biến hóa thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 với giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!