Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 cùng ôn thi đại học. Để giúp các em nắm rõ kiến thức với ôn tập hiệu quả, aryannations88.com Education sẽ tổng vừa lòng những lý thuyết Toán 12 nguyên hàm bao hàm định nghĩa, định lý, bí quyết nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài bác tập nguyên hàm cơ phiên bản với lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các em hãy cùng theo dõi cùng học tập nhé!


*

Phần câu chữ này sẽ triệu tập vào phần kim chỉ nan để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài bác tập.

Bạn đang xem: Toán 12 nguyên hàm

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn tốt nửa khoảng).Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K ví như F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Định lý nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 2 định lý cơ bạn dạng mà những em đề nghị nhớ là:

Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của f(x) trên K.Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Vì vậy F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) bên trên K. Ký kết hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

Tính chất nguyên hàm

Dưới đó là 3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:

Tính hóa học 1:
*

Giải bài bác tập Toán 12 nguyên hàm

Đây là phần bài bác tập nguyên hàm SGK và ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tìm hiểu thêm để nắm rõ hơn về phần kiến thức Toán 12 nguyên hàm.


Bài 1 Trang 100 SGK Toán 12

Đề bài

Trong các cặp hàm số sau, hàm số làm sao là nguyên hàm của hàm số còn lại?


eginaligned&a. e^-x ext với -e^-x\&b. sin2x ext với sin^2x\&c. left( 1-frac2x ight)^2e^x ext và left( 1-frac4x ight) e^xendaligned

eginaligned&a. ext Ta có: "= -e^-x\& extVậy e^-x ext là nguyên hàm của -e^-x\&b. ext Ta có: "= 2xinxcosx=sin2x\& extVậy sin^2x ext là nguyên hàm của sin2x\&c. ext Ta có: \& left"\&=left( 1-frac4x ight)"e^x+left( 1-frac4x ight)(e^x)"\&=e^xleft< 1-frac4x+frac4x^2 ight>=left( 1-frac2x ight)^2e^x\& extVậy left( 1-frac4x ight)e^x ext là nguyên hàm của left( 1-frac2x ight)^2e^x\endaligned

eginaligned& small old extTìm nguyên hàm của các hàm số sau:\& small exta. f(x) = fracx + sqrtx + 1sqrt<3>x\& small extb. f(x) = frac2^x - 1e^x\& small extc. f(x) = frac1sin^2x.cos^2x\& small extd. f(x) = sin5x.cos3x\& small exte. f(x) = tan^2x\& small extg. f(x) = e^3-2x\& small exth. f(x) = frac1(1+x)(1-2x)\& small old extLời giải:\& small exta. int fracx + sqrtx + 1sqrt<3>x\& small = int left( x + x^frac12 + 1 ight). X^frac-13dx\& small = int left( x^frac23 + x^frac16 + x^frac-13 ight)dx\& small = int x^frac23dx + int x^frac16dx + int x^frac-13dx\& small = frac35x^frac53 + frac67x^frac76 + frac32x^frac23 + C\& small = frac35.xsqrt<3>x^2 + frac67.xsqrt<6>x + frac32.sqrt<3>x^2 + C\& small extb. int frac2^x - 1e^x\& small = int left< left( frac2e ight)^x - left( frac1e ight)^x ight>\& small = int left( frac2e ight)^xdx - int e^-xdx\& small = fracleft( frac2e ight)^xlnleft( frac2e ight) + e^-x + C\& small = frac2^xe^x.(ln2 - 1) + e^-x + C\& small extc. int frac1sin^2x.cos^2xdx\& small = int fracsin^2x + sin^2xsin^2x.cos^2xdx\& small = int left( frac1cos^2x + frac1sin^2x ight)dx\& small = int frac1cos^2xdx+ int frac1sin^2xdx\& small = tanx - cotx + C\& small extd. int sin5x.cos3xdx\& small = int frac12(sin8x + sin2x)dx\& small = int frac12sin8xdx + int frac12sin2xdx\& small = -frac116cos8x - frac14cos2x + C\& small exte. int tan^2xdx\& small = int left( frac1cos^2x - 1 ight)dx\& small = int frac1cos^2x - 1dx - int dx\& small = tanx - x + C\& small extg. int e^3-2xdx\& small extĐặt t = 3-2x\& small implies dt = -2dx\& small iff dx = -fracdt2\& small int e^3-2xdx\& small = int e^t.-fracdt2\& small = -frac12 int e^t dt\& small = -frac12e^t + C\& small = -frac12e^3-2x + C\& small exth. int frac1(1+x)(1-2x)dx\& small = int left< frac13(1+x) + frac23(1-2x) ight>dx\& small = frac13 int frac11+xdx + frac23 int frac11-2xdx (*)\& small extXét int frac11+xdx\& small extĐặt t = 1+x\& small implies dt = dx\& small int frac11+xdx\& small = int frac1tdt\& small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)\& small extXét int frac11-2xdx\& small extĐặt t = 1-2x\& small implies dt = -2dx\& small iff dx = -fracdt2\& small int frac11-2xdx\& small = -frac12 int frac1tdt\& small = -frac12ln|t| + C_2 = -frac12ln|1-2x| + C_2 (2)\& small extTừ (1) với (2)\& small (*) = frac13 ln|1+x| - frac13ln|1-2x| + C\& small = frac13 ln|frac1+x1-2x| + Cendaligned

eginaligned& small extSử dụng cách thức đổi đổi mới số, tính những nguyên hàm dưới đây:\& small exta. int (1-x)^9dx ext (đặt u = 1 - x)\& small extb. int x(1+x^2)^frac32dx ext (đặt u = 1 + x^2)\& small extc. int cos^3x.sinxdx ext (đặt t = cosx)\& small extd. int fracdxe^x + e^-x + 2 ext (đặt u = e^x + 1)\& small extLời giải:\& small exta. Đặt u = 1 - x implies du = -dx iff dx = - du\& small int (1-x)^9dx = -int u^9du = -fracu^1010 + C = -frac(1-x)^1010 + C\& small extb. Đặt u = 1 + x^2 implies du = 2xdx iff xdx = fracdu2\& small int x(1+x^2)^frac32dx = frac12 int u^frac32du = frac15u^frac52 + C = frac15(1 + x^2)^frac52 + C\& small extc. Đặt t = cosx implies dt = -sinxdx iff sinxdx = -dt\& small int cos^3x.sinxdx = -int t^3dt = -fract^44 + C = -fraccos^4x4 + C\& small extd. Đặt u = e^x + 1 implies du = e^xdx\& small int fracdxe^x + e^-x + 2 = int frace^xe^2x + 1 + 2e^xdx = frace^x(e^x + 1)^2dx = int frac1u^2du = -frac1u + C = -frac1e^x + 1 + Cendaligned

eginaligned& small extSử dụng phương thức nguyên hàm từng phần nhằm tính các nguyên hàm dưới đây:\& small exta. int xln(1+x)dx\& small extb. int (x^2+2x-1)e^xdx\& small extc. int xsin(2x+1)dx\& small extd. int (1-x)cosxdx\& small extPhương pháp nguyên hàm từng phần:\& small extĐặt egincasesu = u(x)\dv = v"(x)dxendcasesiffegincasesdu = u"(x)dx\v = v(x)endcases\& small implies int f(x)dx = u(x)v(x) - int u"(x)v(x)dx\& small extLời giải:\& small exta. int xln(1+x)dx\& small extĐặt egincasesu = ln(1+x)\dv = xdxendcasesiffegincasesdu = frac1x+1dx\v = fracx^22endcases\& small int xln(1+x)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - int fracx^22(x+1)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - frac12 int left( x-1+frac1x+1 ight)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - frac12 left< fracx^22 - x + ln(1+x) ight>+ C\& small = frac12(x^2-1)ln(1+x) - fracx^24 + fracx2 + C\& small extb. int (x^2+2x-1)e^xdx\& small extĐặt egincasesu = x^2+2x-1\dv = e^xdxendcasesiffegincasesdu = (2x+2)dx\v = e^xendcases\& small int (x^2+2x-1)e^xdx\& small = (x^2+2x-1)e^x - 2int (x+1)e^xdx (*)\& small extXét int (x+1)e^xdx\& small extĐặt egincasesu = x+1\dv = e^xdxendcasesiffegincasesdu = dx\v = e^xendcases\& small int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C\& small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C\& small = (x^2-1)e^x + C\& small extc. int xsin(2x+1)dx\& small extĐặt egincasesu = x\dv = sin(2x+1)dxendcasesiffegincasesdu = dx\v = -frac12cos(2x+1)endcases\& small int xsin(2x+1)dx\& small = -frac12xcos(2x+1) + frac12 int cos(2x+1)dx\& small = -frac12xcos(2x+1) + frac14sin(2x+1)dx + C\& small extd. int (1-x)cosxdx\& small extĐặt egincasesu = 1-x\dv = cosdxendcasesiffegincasesdu = - dx\v = sinxendcases\& small int (1-x)cosxdx\& small = (1-x)sinx + int sinxdx\& small = (1-x)sinx - cosx + Cendaligned

Logarit Là Gì? Định Nghĩa, tính chất Và những Công Thức Của Logarit

Câu Hỏi 6 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:


eginaligned& small exta. Mang đến int (x-1)^10dx. ext Đặt u=x-1, hãy viết (x-1)^10dx ext theo u cùng du\& small extb. Mang lại int fraclnxxdx. ext Đặt x=e^t, ext hãy viết int fraclnxxdx ext theo t cùng dt\& small extLời giải\& small exta. Theo đề bài, ta đặt u=x-1 implies x=u+1 implies dx = du implies (x-1)^10dx = u^10du\& small extb. Theo đề bài, ta đặt x=e^t implies dx = e^tdt implies fraclnxxdx = fracln(e^t)e^te^tdt = tdt\endaligned

Câu Hỏi 7 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Ta có: (xcosx)′ = cosx − xsinx hay −xsinx = (xcosx)′ − cosx. Hãy tính ∫(xcosx)′dx và ∫cosxdx. Từ kia tính ∫xsinxdx

Lời giải:

Ta bao gồm ∫(xcosx)′dx = xcosx + C1 và ∫cos⁡xdx = sin⁡x + C2

Dựa vào công thức ở đề bài, ta có

∫xsinxdx = −∫(−xsinx)dx = −∫<(xcosx)′ − cosx>dx = −∫(xcosx)dx + ∫cosxdx = −xcos⁡x − C1 + sin⁡x + C2 = −xcosx + sinx + C

Câu Hỏi 8 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Cho P(x) là nhiều thức của x. Từ lấy một ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích thích hợp vào nơi trống theo cách thức nguyên phân hàm từng phần.

∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x)
dvexdx

Lời giải:

∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x) P(x)lnx
dvexdx cosxdxP(x)dx

Học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 trên aryannations88.com Education

aryannations88.com Education là nền tảng học tập livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn đáng tin tưởng và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đi học 12. Với ngôn từ chương trình huấn luyện bám gần cạnh chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và Đào tạo, aryannations88.com Education để giúp đỡ các em mang lại căn bản, cải tiến vượt bậc điểm số và nâng cấp thành tích học tập tập.


Tại aryannations88.com, những em sẽ được đào tạo bởi những thầy cô thuộc top 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Những thầy cô đều sở hữu học vị trường đoản cú Thạc Sĩ trở lên với trên 10 năm tởm nghiệm đào tạo và huấn luyện và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương thức dạy sáng sủa tạo, sát gũi, những thầy cô để giúp đỡ các em tiếp thu kỹ năng một cách hối hả và dễ dàng.

aryannations88.com Education còn tồn tại đội ngũ nạm vấn học tập tập siêng môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, cung cấp các em câu trả lời mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá thể hóa lộ trình học hành của mình.

Với áp dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng gốc rễ công nghệ, từng lớp học tập của aryannations88.com Education luôn bảo đảm an toàn đường truyền ổn định chống giật/lag về tối đa với unique hình ảnh và âm thanh xuất sắc nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô bỏng lớp học offline, các em rất có thể tương tác thẳng với giáo viên dễ ợt như khi tham gia học tại trường.

Khi thay đổi học viên tại aryannations88.com Education, các em còn nhận ra các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp tổng thể công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập tập cùng ghi nhớ con kiến thức dễ dàng hơn.

Xem thêm: Các Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Năm 2022 Có Đáp Án, Đề Thi Thử Vào Lớp 10 Môn Toán 2022 Có Đáp Án

aryannations88.com Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm đến học viên. Còn nếu như không đạt điểm số như cam kết, aryannations88.com đã hoàn trả các em 100% học tập phí. Các em nhanh tay đăng ký học livestream trực con đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 trên aryannations88.com Education ngay từ bây giờ để được hưởng mức tiền học phí siêu ưu đãi lên đến mức 39% giảm từ 699K chỉ từ 399K.

Trong bài viết trên, Team aryannations88.com Education đã tổng hợp và chia sẻ đến những em văn bản Toán 12 nguyên hàm lý thuyết cùng bài tập áp dụng về một bí quyết đầy đủ, đưa ra tiết. Hi vọng các em sẽ nắm vững mảng kiến thức này, từ kia học tốt môn Toán hơn. Các em hãy theo dõi aryannations88.com Education mỗi ngày để tìm hiểu thêm những loài kiến thức hữu dụng các nhé! Chúc những em luôn luôn học tập tốt!