Ln là hàm ngược của hàm mũ

Hàm logarit tự nhiên ln (x) là hàm ngược của hàm mũ e x .

Bạn đang xem: Tính chất của ln

Đối với x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Hoặc

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Các luật lệ và đặc thù lôgarit từ nhiên

Tên quy tắcQui địnhThí dụ
Quy tắc nhân

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quy tắc yêu đương sốln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Quy tắc quyền lựcln ( x y ) = y ∙ ln ( x )ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
đạo hàm lnf ( x ) = ln ( x ) ⇒ f " ( x ) = 1 / x
tích phân ln∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln của số âmln ( x ) không khẳng định khi x ≤ 0
bằng 0ln (0) là ko xác định
Trong mộtln (1) = 0
trong vô cựclim ln ( x ) = ∞, khi x → ∞
Danh tính của Eulerln (-1) = i π
Quy tắc tích lôgaritLôgarit của phép nhân x với y là tổng lôgarit của x và lôgarit của y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Ví dụ:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Quy tắc thương số lôgarit

Logarit của phép chia x cùng y là hiệu của logarit của x cùng logarit của y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Ví dụ:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Quy tắc lũy quá lôgarit

Lôgarit của x được nâng lên thành lũy quá của y là y nhân cùng với lôgarit của x.

Xem thêm: Cách Tính Tích Có Hướng Trên Fx 570Es Plus, Cách Tính Tích Có Hướng Trên Fx

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Ví dụ:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Đạo hàm của lôgarit từ bỏ nhiên

Đạo hàm của hàm logarit tự nhiên và thoải mái là hàm nghịch biến.

Khi nào

f ( x ) = ln ( x )

Đạo hàm của f (x) là:

f " ( x ) = 1 / x

Tích phân của logarit từ bỏ nhiên

Tích phân của hàm logarit tự nhiên được mang lại bởi:

Khi nào

f ( x ) = ln ( x )

Tích phân của f (x) là:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln của 0

Lôgarit tự nhiên của 0 là không xác định:

ln (0) là ko xác định

Giới hạn ngay sát 0 của lôgarit tự nhiên và thoải mái của x, khi x tiếp cận 0, là trừ vô cùng:

Ln của 1

Lôgarit tự nhiên của một bằng 0:

ln (1) = 0

Ln của vô cùng

Giới hạn của lôgarit tự nhiên và thoải mái của vô cùng, khi x tiến tới vô cùng bởi vô cùng:

lim ln ( x ) = ∞, lúc x → ∞

Lôgarit phức tạp

Đối cùng với số phức z:

z = re iθ = x + iy

Lôgarit phức vẫn là (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Đồ thị của ln (x)

ln (x) ko được xác định cho những giá trị thực không dương của x:

*

Bảng logarit từ bỏ nhiên

x ln x
0 chưa xác định
0 +- ∞
0,0001-9.210340
0,001-6.907755
0,01-4.605170
0,1-2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,71831
3 1,098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3,401197
40 3.688879
50 3,912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6,551080
800 6.684612
900 6.802395
10006.907755
100009.210340