Phương trình lượng giác luôn là dạng toán gây khó cho những em, vị dạng toán cũng khá đa dạng với tập nghiệm lại mang tính tổng quát. Và việc giải biện luận phương trình gồm tham số m đang càng phức hợp hơn bởi đòi hỏi kiến thức tổng quát hơn.

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình lượng giác có nghiệm


Việc giải và biện luận phương trình lượng giác tất cả chứa thông số m sẽ giúp đỡ các em nuốm được bí quyết giải một những tổng quát, thông qua đó khi giải các phương trình lượng giác cụ thể sẽ cảm thấy thuận tiện hơn siêu nhiều.

Với các việc lượng giác chứa tham số thường yêu mong tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình bao gồm nghiệm hoặc tìm đk của tham số để phương trình tất cả n nghiệm nằm trong một khoảng tầm D nào đó. Nội dung bài viết dưới đây, để giúp đỡ các em nắm bắt được giải pháp giải dạng phương trình này.

I. Biện pháp giải phương trình lượng giác cất tham số m

Cho phương trình lượng giác có chứa thông số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải vấn đề biện luận phương trình lượng giác có chứa thông số m ta thường thực hiện hai giải pháp sau:

phương pháp 1: phương pháp tam thức bậc 2 (áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong những số ấy h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (*)

- cách 2: tra cứu miền cực hiếm (điều kiện) của t trên tập xác định D (x ∈ D). điện thoại tư vấn miền giá trị của t là D1

- cách 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at2 + bt + c = 0 (**)

- cách 4: Giải (**) tìm điều kiện để tam thức f(m,t) bao gồm nghiệm

- bước 5: Kết luận

 Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- bước 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường chuyển đổi về dạng F(x) = m với đặt ẩn phụ để mang về dạng G(t) = m.

Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác minh D (x ∈ D). Hotline miền cực hiếm của t là D1

- cách 3: Lập bảng biến đổi thiên của hàm số G(t) trên miền xác minh D1

- bước 4: phụ thuộc bảng đổi thay thiên của hàm số nhằm biện luận nghiệm của phương trình.

Một số dạng đặc biệt quan trọng như phương trình: asinx + bcosx = c gồm nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

II. Giải cùng biện luận phương trình có chứa tham số m qua lấy ví dụ như minh họa

* ví dụ như 1: kiếm tìm m để phương trình sau bao gồm nghiệm:

 2sin2x - sinx.cosx - cos2x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có: 

*

*

(*) bao gồm nghiệm ⇔ 12 + 32 ≥ (1 - 2m)2

⇔ 4m2 - 4m - 9 ≤ 0

⇔ 

*

Vậy với

*
 thì phương trình (*) tất cả nghiệm.

* ví dụ 2: tìm kiếm m nhằm phương trình sau tất cả nghiệm x (0; π/4)

 mcos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: 

*

Ta phân chia cả nhị vế của phương trình mang đến cos2x ≠ 0 ta được:

 m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan2x) = 0

⇔ (m - 2)tan2x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) đề nghị t∈(0;1), ta được

 (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi kia (*) gồm nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ còn khi (***) tất cả nghiệm t∈(0;1)

Ta hoàn toàn có thể sử dụng một trong các hai bí quyết giải đã nêu ở trên và việc này.

* cách 1: thực hiện tam thức bậc 2 (giải giống như cách giải cùng biện luận phương trình bậc 2 một ẩn tất cả tham số).

+) với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi ấy (***) tất cả dạng:

 -4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài bác toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 lúc ấy (***) có nghiệm t∈(0;1) có thể xảy ra 2 trường hợp

- TH1: pt(***) có một nghiệm trực thuộc đoạn (0;1), tức là:

 f(0).f(1)

 ⇔ 1

- TH2: pt(***) có 2 nghiệm thuộc đoạn (0;1)

*

Không có mức giá trị như thế nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa hệ trên: Δ"≥0 nhằm phương trình có 2 nghiệm; af(1)>0 nhằm 1 nằm ngoài khoảng chừng 2 nghiệm; af(0)>0 để 0 ở ngoài khoảng chừng hai nghiệm; 0

⇒ Kết luận: với 1

* cách 2: Dùng phương thức đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ mt2 - 2t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ (t2 + 2)m = 2t2 + 4t + 2

 

*

Phương trình tất cả nghiệm x ∈(0;π/4) khi và chỉ còn khi mặt đường thẳng y = m giảm đồ thị hàm số  trên (0;1).

Xét hàm số (C):  trên (0;1)

ta có: 

*
 
*
 tức là hàm số đồng thay đổi trên (0;1).

Xem thêm: De Thi Học Kì 2 Lớp 2 Năm 2021, Bộ Đề Thi Học Kì 2 Lớp 2 Năm 2021

Do đó mặt đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C) trên khoảng chừng (0;1) khi và chỉ khi:

y(0) * lấy ví dụ như 3: Tìm m nhằm phương trình sau có nghiệm x∈(0;π/12):

 cos4x = cos23x + msin2x (*)

* Lời giải:

Sử dụng cách làm bậc 2, công thức bậc 3

- Ta có: 

*

 

*

Đặt t = cos2x, vì x∈(0;π/12) đề xuất 2x∈(0;π/6)

suy ta: t = cos2x thì  khi đó, ta có:

 

*

*

*

*
 (vì t≠1).

* phương pháp 1: Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t, ta có:

 

*

Vì  nên

*

Do đó (*) gồm nghiệm x∈(0;π/12) khi và chỉ còn khi con đường thẳng y = m cắt (P) trên 

*

sin4x + cos4x = sin4x + 2sin2xcos2x + cos4x - 2sin2xcos2x

 = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = 1 - 2(sinxcosx)2

 

*

sin24x = (sin4x)2 = (2sin2xco2x)2 = 4sin22xcos22x

 = 4sin22x(1 - sin22x) = 4sin22x - 4sin42x

Do đó, phương trình (*) được mang về dạng

*

*

*

Đặt t = sin22x điều kiện 0 ≤ t ≤ 1 lúc đó phương trình bao gồm dạng:

 4t2 - 3t = m (1)

* bí quyết 1: Để pt(*) gồm nghiệp thì pt(1) gồm nghiệm t∈<0;1>. Gồm 2 trường hợp: Pt(1) có 1 nghiệm hoặc có 2 trực thuộc <0;1>