Tìm giá chỉ tị lớn số 1 (GTLN) cùng giá trị nhỏ dại nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức đựng dấu cực hiếm tuyệt đối,...) là giữa những dạng toán lớp 9 có rất nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức


Bài viết này sẽ chia sẻ với những em một số trong những cách tìm giá bán trị lớn nhất (GTLN, Max) với giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số cất dấu căn, chứa dấu cực hiếm tuyệt đối,...) qua một trong những bài tập minh họa cầm thể.

° Cách tìm giá trị bự nhất, giá bán trị bé dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến hóa số)

- ước ao tìm giá bán trị lớn nhất hay giá trị nhỏ tuổi nhất của một biểu thức ta có thể biến hóa biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy một ví dụ 1: cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm kiếm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- vì chưng (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bởi xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi còn chỉ khi x = -1.

* ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- vị (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

* ví dụ như 3: Cho biểu thức: 

*

- tìm kiếm x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 yêu cầu (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá trị béo nhất, giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức đựng dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 đổi thay số)

- cũng như như giải pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức ko âm như:

 

*
 hoặc 
*

- dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ như 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá bán trị nhỏ nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá bán trị lớn số 1 thì 

*
 đạt giá chỉ trị bé dại nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xảy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá bán trị khủng nhất, giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức cất dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 đổi mới số)

- câu hỏi này cũng nhà yếu phụ thuộc tính ko âm của trị tuyệt đối.

* lấy một ví dụ 1: tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xẩy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa vào các thay đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị xuất xắc đối,...) cùng hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều vấn đề phải thực hiện bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: 

*
 (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa dấu quý hiếm tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Giáo Dục Kỹ Năng Sống Cho Học Sinh Tiểu Học Qua Các Môn Học, Giáo Dục Kỹ Năng Sống Cho Học Sinh Tiểu Học

* ví dụ 1: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- vày a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).