Toán 10: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho nhị véc-tơ $ veca$ và $vecb$ đông đảo khác $ vec0$. Tích vô vị trí hướng của hai véc-tơ $ veca$ và $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là một trong những số, được xác định bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, ví như $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách xác định góc thân hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Bạn đang xem: Tích vô hướng của 2 vectơ

Hai véc-tơ vuông góc cùng nhau khi còn chỉ khi tích vô vị trí hướng của chúng bởi $0$.

Tích vô hướng chính là công trong trang bị lý. Cho một lực có độ bự $F$ tác động lên vật làm cho vật dịch rời được quãng mặt đường $s=OO’$. Lực $F$ hợp với hướng vận động $OO’$ một góc là $phi$ thì công cơ mà lực $F$ sinh ra có độ béo là $$A=F.s.cosphi.$$

*

1.2. Tính chất của tích vô hướng

Với ba véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ ngẫu nhiên và một trong những thực $ k$, ta luôn luôn có

$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính chất giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính chất phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cùng với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ cho hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ thì ta tất cả $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ khi và chỉ còn khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô phía 2 vecto

Độ nhiều năm của $ veca(x;y)$ được tính bởi công thức $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc thân hai vectơ $ veca=(x;y)$ với $ vecb=(x’;y’)$ bao gồm $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecbvecb=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng cách giữa hai điểm $ A(x_A;y_A)$ với $ B(x_B;y_B)$ được tính bởi cách làm $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Công thức hình chiếu

Nếu nhì điểm $ A’,B’ $ theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ phát xuất thẳng $ CD, $ thì ta luôn luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, giả dụ hai điểm $ C’,D’ $ theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ lên đường thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Những dạng toán tích vô hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Ví dụ 1. cho tam giác $ABC$ đều, cạnh bởi $ a $ và đường cao $ AH $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. mang lại tam giác phần đa $ ABC $ bao gồm cạnh bởi $ 3a. $ mang hai điểm $ M,N $ thuộc đoạn $ AC $ làm sao để cho $ AM=MN=NC $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.

Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô hướng còn lại, ta phân tích những véctơ áp dụng quy tắc bố điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào những tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính các tích vô phía ta thông thường có hai hướng, tính trực tiếp bằng định nghĩa, hoặc đối chiếu thành các véctơ có mối tương tác đặc biệt với nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược phía với nhau). Hãy xem ví dụ sau nhằm rõ hơn về ý tưởng phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ gồm $ M, N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC $ với $ CD $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.

Ta tất cả $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng đều có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ cùng $ M $ là 1 trong điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. đến hai điểm $ A,B $ cố định và thắt chặt và $ k $ là hằng số. Tìm kiếm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn nhu cầu $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign bởi đó, $ MI^2=k+IA^2 $, buộc phải có những khả năng:

Nếu $ k+IA^2 nếu $ k+IA^2=0 $, tập hòa hợp điểm $ M $ là vấn đề $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập vừa lòng điểm $ M $ là một trong những đường tròn vai trung phong $ I, $ bán kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy ở trong vào số $ k $ cơ mà tập vừa lòng điểm $ M $ là những tập không giống nhau như trên.

Ví dụ 6. đến hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, hotline $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ căn nguyên thẳng $ OA $. Chứng minh rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét nhì trường hợp:

Hai điểm $A$ với $ B’ $ nằm tại vị trí cùng một phía so với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ cùng $ B’ $ nằm nhì phía so với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, trong cả nhị trường hợp, ta đều sở hữu $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Ví dụ 7. đến đường tròn trung tâm $ I, $ nửa đường kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một đường thẳng qua $ M $ cắt đường tròn tại nhị điểm $ A,B $. Chứng tỏ rằng quý hiếm của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ không đổi.

Hướng dẫn. Kẻ đường kính $ BB’ $ thì ta tất cả $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng công thức hình chiếu trong ví dụ như trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign tuy thế $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, nên suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đấy là một đại lượng ko đổi.

Ví dụ 8. mang đến tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ cùng $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài cha cạnh của tam giác.

Hướng dẫn. Ta bao gồm $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ phát xuất thẳng $ AB $, do đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tương tự có $ AC=3, $ và sử dụng Pytago được $ BC=sqrt13. $

Ví dụ 9. cho hình thang vuông $ ABCD $, con đường cao $ AB = 2a $, đáy mập $ BC = 3a $, đáy bé dại $ AD = a $.

Tính các tích vô hướng $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. thực hiện công thức hình chiếu hoặc phân tích theo hai véctơ vuông góc cùng nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ cùng điểm $ M $ nằm trong cạnh $ AB $ làm sao cho $ AM=fraca3. $ Tính quý giá lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Chứng minh đẳng thức bằng tích vô hướng

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ABC$ có giữa trung tâm $ G $ với $ M $ là một trong những điểm nằm trên phố thẳng đi qua $ G $ đôi khi vuông góc cùng với $ BC. $ minh chứng rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta có $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ vai trung phong là $ O $, cạnh bởi $ a $. Chứng tỏ rằng với mọi điểm $ M $ ta luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ làm cho tương tự so với $ MB,MC,MD $ và cộng từng vế những đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign vì $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Minh chứng hai con đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. chứng minh rằng với bốn điểm tách biệt $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn có, $ AB $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ còn khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng bí quyết $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi và chỉ còn khi hai tuyến phố thẳng $ AB $ với $ CD $ vuông góc cùng với nhau.

Chú ý rằng, ở bước thứ ba, ta không được “chia” hai vế mang lại $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ cùng với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ với tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ mang lại hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ search tọa độ điểm $M$ ở trong trục $ Ox $ làm sao để cho tam giác $ MAB $ vuông trên $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong phương diện phẳng tọa độ mang lại tam giác $ABC$ bao gồm $A(1;2),B(5;3)$ và $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo các góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, vai trung phong đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. cho tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ và $ G(2/3,0) $ là trung tâm tam giác $ ABC $. Tra cứu tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì vì chưng $ M $ là trung điểm $ BC $ bắt buộc $ C(2-x_B,-2-y_B) $ cho nên vì thế tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, bao gồm tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$ khi và chỉ còn khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này kiếm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ từ bỏ đó kiếm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong khía cạnh phẳng toạ độ $ Oxy, $ mang đến tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ với $ m e 0 $. Search tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Xác định $ m $ nhằm tam giác $ GAB $ vuông trên $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ tìm tọa độ trực trung ương và trung khu đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực tâm tam giác $OAB$ khi còn chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này tìm kiếm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta tất cả $ I $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này tìm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. mang đến tứ giác $ABCD$ có $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích s được tính bằng công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài tập tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ cùng $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. mang đến tam giác $ABC$ tất cả $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ cùng $AB=a$. Tính các tích vô phía $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ và $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A có $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ với $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. mang đến tam giác $ABC$ số đông cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ cùng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong phương diện phẳng $ Oxy $ cho $A=(4;6),B(1;4)$ với $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông trên $ A $.Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.

Bài 6. Tính góc giữa hai vec tơ $overrightarrowa$ và $overrightarrowb$ trong các trường hòa hợp sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ cùng $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ với $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ với $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc cùng với $ BN. $

Bài 8. cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ và hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ và $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ cùng $ b $ nhằm $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 9. chứng tỏ rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra cha đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. mang lại tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân nặng tại $ A $. Call $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung ương $ O $. Hotline $ BH,CK $ là những đường cao của tam giác. Chứng minh rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 12. đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ với $ O $ là trọng tâm đường tròn nước ngoài tiếp. Hotline $ D $ là trung điểm của $ AB $ và $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 13. mang lại tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn vai trung phong $ O $ với một điểm $ H $. Chứng tỏ rằng $ H $ là trực trung ương của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. cho tứ giác lồi $ ABCD $ cùng với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Hotline $ H,K $ khớp ứng là trực tâm của những tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ tương xứng là trung điểm của $ BC,DA $. Minh chứng rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 15. mang lại tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Call $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng tỏ rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 16. cho góc vuông $ xSy $ và mặt đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ tại $ A,B $ với $ Sy $ trên $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến đường vẽ trường đoản cú $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 17. Trong khía cạnh phẳng $ Oxy $ đến hai điểm $A(2;4)$ cùng $B(1;1)$. Kiếm tìm tọa độ điểm $ C $ sao để cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $ B $.

Bài 18. cho tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ với $C(2;0)$.

Tính chu vi với nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm chổ chính giữa và bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong khía cạnh phẳng $Oxy$ mang lại 4 điểm $A,B,C,D$ cùng với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ cùng $D(0;-2)$. Minh chứng rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong phương diện phẳng $Oxy$ mang lại 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. điện thoại tư vấn $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với con đường cao $ AD=h $ cùng hai lòng $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ và $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ cùng $ b $ nhằm $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 23. cho tam giác $ABC$. Với điểm $ M $ tùy ý, minh chứng rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. mang lại $ O $ là trung điểm của đoạn trực tiếp $ AB $ và $ M $ là một trong điểm tùy ý. Chứng minh rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. mang đến tam giác $ABC$ có bố đường trung tuyến là $ AD, BE, CF $. Chứng tỏ rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. mang đến hình chữ nhật $ ABCD $ có $AB=a$ cùng $AD=asqrt2$. điện thoại tư vấn $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Minh chứng $BKperp AC$.

Bài 27. đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $. điện thoại tư vấn $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ bên trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Chứng tỏ $AMperp BD$.

Bài 28. cho tam giác $ABC$. Gọi $ H $ là trực trọng tâm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. đến tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cánh $ AC $ cùng $ BD $ vuông góc với nhau và giảm nhau trên $ M $. điện thoại tư vấn $ p $ là trung điểm của $ AD $. Hội chứng minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. minh chứng rằng với tư điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > từ đó chứng tỏ ba mặt đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. đến tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài những tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 32. cho tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn trung tâm $ O $. Call $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng tỏ rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 33. mang đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ cùng với $ O $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp. Hotline $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là trung tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 34. mang đến tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trọng tâm $ O $ với một điểm $ H $. Chứng tỏ rằng $ H $ là trực trọng tâm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. mang đến tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. điện thoại tư vấn $ H,K $ khớp ứng là trực tâm của những tam giác $ OAB,OCD $. Gọi $ I,J $ tương xứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng minh rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 36. cho tứ giác nội tiếp $ ABCD $ với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng tỏ rằng $ IE $ vuông góc cùng với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 37. đến góc vuông $ xSy $ và mặt đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ trên $ A,B $ với $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng tỏ rằng trung tuyến vẽ từ bỏ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 38. mang lại tam giác không cân nặng $ ABC $. Hỏi tam giác này phải vừa lòng điều khiếu nại gì để mặt đường thẳng Euler của nó vuông góc cùng với trung con đường qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm những cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện. Chứng tỏ rằng trường hợp ba trong các các mặt đường đó đồng quy thì cả bốn đường trực tiếp đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: 65+ Kí Hiệu Trái Tim, Emoji Trái Tim Tình Yêu Đẹp Nhất, Kí Tự Đặc Biệt

Trong mặt phẳng đến $ n $ điểm sáng tỏ $ A_1,A_2,…,A_n $, cùng $ n $ số thực khác không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ làm sao cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Minh chứng rằng $ n leqslant 4 $ cùng nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.