Bất phương trình Logarit là một nội dung vô cùng đặc biệt trong chương trình toán 12. Vì chưng vậy, hiểu rõ được thực chất và những cách giải bất phương Logarit là điều cực kì cần thiết.
Để núm đượclý thuyết và bí quyết giải bài bác tập về bất phương trình Logarit hãy khám phá kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem trên bảng dưới đây:
1. Phương trình và bất phương trình Logarit
1.1. Phương trình Logarit
Phương trình Logarit là phương trình tất cả chứa ẩn số vào biểu thức dưới vệt Logarit, có dạng $log_ax=b (a> b; a
eq 1; x> 0)$ vào đó, x là ẩn số yêu cầu đi tìm.
Bạn đang xem: Tập nghiệm của bất phương trình logarit
Chứng minh phương trình trên bao gồm nghiệm:
- Áp dụng định nghĩa Logarit ta có: $log_ax=b Leftrightarrow x=a^b$
- Minh họa bằng đồ thị hàm số, ta có:
Ta rất có thể thấy thứ thị của những hàm số $y=log_ax$ cùng y=b luôn cắt nhau trên một điểm $forall bin R$
Như vậy, phương trình Logarit$log_ax=b (a> b; a eq 1; x> 0)$ luôn có nghiệm tốt nhất là $x=a^b$ với tất cả b
- Ví dụ: $log_3x=2 Leftrightarrow x=3^2=9$
1.2. Bất phương trình Logarit
Tương tự như phương trình Logarit,bất pt Logarit tất cả dạng $log_ax> b; log_axgeqslant b; log_ax 0; a eq 1; x> 0$
Chứng minh bất phương trình Logarit $log_ax> b$ gồm nghiệm
- Xét bất phương trình Loga, ta có:
+ Trường hợp $a>1:log_ax> b Leftrightarrow x> a^b$
+Trường hòa hợp $0 b Leftrightarrow 0
- Minh họa bất phương trình $log_ax> b$bằng vật dụng thị với 2 trường hợp, ta có:
Như vậy:
+ Trường phù hợp a>1:$log_ax> b$ khi còn chỉ khi $x> a^b$
+ Trường vừa lòng 0 b$ khi và chỉ khi $0
- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit $log_ax> b$ bao gồm
| $log_ax> b$ | $a> 0$ | $a |
| Nghiệm | $x> a^b$ | $0 |
Ví dụ: $log_3x> 5 Leftrightarrow x> 3^5 Leftrightarrow x= 243$
2. Các cách giải bất phương trình logarit
Để giải những bất pt Logarit, họ có những cách sau:
2.1. Giải bất PT Logarit bằng phương thức đưa về cùng cơ số
Ví dụ 1: (THPT Hàm long 2019) Bất phương trình $log_4(x+7)> log_2(x+1)$ bao gồm bao nhiêu nghiệm nguyên
A. 3 B.1 C.4 D.2
Lời giải:Chọn D
Điều kiện xác minh của bất phương trình Logarit là:
$left{eginmatrixx+7> 0 và & \ x+1> 0 và & endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx> -7 và & \ x> -1& và endmatrix ight.Leftrightarrow x> -1$
Ta có: $log_4(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow frac12log_2(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow log_2(x+7)> log_2(x+1)^2$
$Leftrightarrow x^2+x-6
Kết hợp đk bpt logarit ta được: $-1
Vì $xin Z $ nên tìm đượcx=0, x=1
Ví dụ 2: (THPT 2 bà trưng - Huế - 2019) Có toàn bộ bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bpt logarit $log_frac12
A. vô vàn B.1 C.0 D.2
Lời giải: chọn C
$log_frac12
$Leftrightarrow 0
$Leftrightarrow 1
$Leftrightarrow left{eginmatrix2-x^2 1& và endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx^2> 0& và \ x^2
Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không tồn tại số nguyên x nào thỏa mãn bpt logarit$log_frac12
Từ 2 ví dụ trên mang đến thấy, để áp dụng phương pháp đưa về thuộc cơ số, ta chỉ việc phân tích, biến đổi các cơ số về thành cơ số chung. Từ kia ta mang lại dạng bất phương trình cơ bản và giải như bình thường.
2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (Mã 123 2017) tìm kiếm tập nghiệm S của bpt logarit $log_2^2x-5log_2x+4geqslant 0$
A. $S=(-infty;1>cup <4;+infty >$
B.$S=<2;16>$
C.$S=(0;2>cup <16;+infty>$
D. $S= (-infty;2)cup<16;+infty)$
Lời giải: lựa chọn C
- Điều khiếu nại x>0
- BPT tương đương:$log_2xgeqslant 4$ hoặc $log _2xgeqslant 1log _2xgeqslant 1$
$xgeqslant 16$ hoặc $xleqslant 2$
- kết hợp điều kiện ta có: $S=(0;2>cup <16;+infty >$
Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_x2(2+log_2x)> frac1log_2x2$
Lời giải:
Điều khiếu nại $left{eginmatrixx> 0 & & \ x eq 1& và \ x eq frac12& và endmatrix ight.$
(4) $log_x2(2+log_2x)> log_2(2x)Leftrightarrow log_x2(2+log_2x)> 1+log_2x$
Đặt $t=log_2x$, ta có:
$frac1t(2+t)> 1+tLeftrightarrow frac2+t-t(1+t)t> 0Leftrightarrow frac-t^2+2t> 0$ khi và chỉ khi: $0
+ cùng với trường vừa lòng $0
+ với trường vừa lòng $t
Vậy tập nghiệm của BPT (4) là $xin (0;2^-sqrt2)cup (1;2^sqrt2)$
Từ các ví dụ minh họatrên, ta rất có thể thấy mục tiêu của cách thức này thiết yếu là biến hóa bất pt logarit ở đề bài xích về những dạng bất phương trình logarit đại số thân quen thuộc. Để có tác dụng được như vậy, chúng ta chỉ bắt buộc phân tích và tìm ra điểm phổ biến giữa những cơ số. Tiếp nối đặt tên mang đến cơ số thông thường rồi đem lại dạng bất phương trình $ax^2+bx+c geqslant 0$rồi giải như bình thường.
Xem thêm: Hóa Tệ " - Hóa Tệ (Commodity Money) Là Gì
2.3. Giải bất phương trình Logaritbằng cách thức hàm số
Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_2sqrtx+1+log_3sqrtx+9> 1 (5)$
Lời giải:
Điều kiện $x> -1$
Bất pt Logarit
$Leftrightarrow x+frac12log_2(x+1)+frac12log_3(x+9)> 1Leftrightarrow g(x)=2x+log_2(x+1)+ log_3(x+9)> 2$
$g"(x)= 2+ frac1(x+1)In2+frac1(x+9)In3> 0Rightarrow g(x)$ đồng trở nên trên $(-1;+infty )$
BPT $Leftrightarrow g(x)> g(0)Leftrightarrow x> 0$
Vậy nghiệm của BPT là $(0;+infty )$
Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^2-10x+10> log_2frac2x-2(x-2)^2$ (6)
Lời giải
Điều kiện: $x> frac12;x eq 2$
Khi đó BPT $Leftrightarrow 2(x-2)^2+ log_2(x-2)^2> 2.frac2x-12+log_2frac2x-12$
Ta có: $f<(x-2)^2)> > g frac2x-12Leftrightarrow (x-2)^2> frac2x-12$
Đáp số: $x> frac5+sqrt72; frac5-sqrt72> x> frac12$
Bên cạnh phương pháp đưa về thuộc cơ số hoặc để ẩn phụ, chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng tính đối chọi điệu của hàm số để tìm ra tập nghiệm của những bất phương trình Logarit.
3. Các bài tập vềbất pt Logarit giỏi nhất, có lời giải
Tải trọn bộ đề + đáp án bài tập Bất phương trình logarit tại:Tuyển lựa chọn BT bất phương trình logarit
Trên đấy là những công thức cũng giống như bài tập vận dụng về bất phương trình Logarit mà các em hoàn toàn có thể tham khảo. Chúc em học tập tốt!