Bạn đang xem: Sgk toán 12 nguyên hàm
Xem thêm: Bộ Đề Thi Giữa Học Kì 2 Lớp 4 Môn Toán Có Đáp Án Lớp 4 Giữa Kì 2 Năm 2021
Nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì Với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của f(x) bên trên K.2.ĐINH LÍ2Nếu F() là một trong những nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì phần đông nguyên hàm của f() trên K đều sở hữu dạng F() + C, cùng với C là 1 trong hằng số.Chứng minh. Mang sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f() trên K, có nghĩa là G”(A) = f(), = K. Khi ấy (G(A) – F(x) = G(A) – F (A) = f(x) = f(x) = 0, e K. Vậy G(x) = F() là 1 trong những hàm số không đổi trên K. Ta bao gồm G(x) = F(A) = C → G(A) = F(x) + C. A. E. K. Hai định lí trên cho thấy: ví như F() là một trong những nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì F(x) + C, Ce R là họ toàn bộ các nguyên hàm của f() trên K. Kí hiệuCHU Y Biểu thức f()d đó là vi phân của nguyên hàm F() của f(), vì dF() = F"() d = f() d. Lấy một ví dụ 2a) Võive (-O: +o), 2dv = A + C b). Cùng với x = (0: +ơO), fods = ln s + C’ ; c). Với cùng một = (–OC: +…), Icos{dI = Sin t + C. đặc thù của nguyên hàm TÍNH CHẤT 1 Jr (tody – f(x) + C.Tính hóa học này được suy trực tiếp từ có mang nguyên hàm. Ví dụ dưới đây minh hoạ cho đặc điểm đó. Ví dụ 3. (cos x)’ dx = s-sinx)dx = cos x + C.TÍNH CHẤT 2(k là hằng số không giống 0).Chứng minh. điện thoại tư vấn F() là 1 trong nguyên hàm của kf{), ta có k/(v) = F(v) (*) r, 1. ) vì k = 0, yêu cầu f(x) = F (A) = ( từ đó, theo tính chất 1 ta gồm kf(a)dy = Fo) dx = “) — C) = F(x) + KC (CI e IR) = F(x) + C (vì C, tuỳ ý ở trong R cùng k z0 yêu cầu C = C tuỳ ý ở trong R) skf(x)dx (do (*)).TÍNH CHẤT 3f(x) g(x))dx |f(x)dx 士 Jg(a)dy.4 عين * chứng minh. TÍnh hóa học 3. Lấy ví dụ như 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sin + * trên khoảng (0; +ơ). Giải. Với = (0, #2O), ta cóÍ3sins — id = 3 || sin xdx + 2 side = —3 cos x + 2 ln x + C .3. Sự vĩnh cửu nguyên hàm Ta thừa nhận định lí dưới đây, ĐINH LÍ3Mọi hàm số f(x) thường xuyên trên K đều phải sở hữu nguyên hàm bên trên K. 95 lấy ví dụ như 52 a). Hàm số f(x) = o bao gồm nguyên hàm trên khoảng tầm (0; +…) cùng 2. 5 joids – as x’ dix’ – ミ* + C.b). Hàm số g(x) = có nguyên hàm trên từng khoảng {{ft:(K + 1)ft) SITA (K = 7) vàH—* = – cotx + C.sin x 4. Bảng nguyên hàm của một số trong những hàm số thường gặp gỡ 5 Lập bảng theo mẫu tiếp sau đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại sốvà Giải tích 11 để điền các hàm số phù hợp vào cột bên phảf"(x) f(x) + Cα” inα (α > 0, α = 1)COSA- sinx trường đoản cú bảng các đạo hàm, ta gồm bảng nguyên hàm sau đây.sode = C. Sade = — + C (a > 0, a z 1) lina = x + C. Cos Adx = sin x + C ‘div – ” ‘ ” – C (απ – 1) isin di = — cos x + C C – – 1 dy – Ins – C 5 — dx = tan x + C COS A jeda = e + C f -7 dx = – cot x + C L sin vVí dụ 6. Tính :a) se — trên khoảng chừng (0; +ơC):b) 3cosa -3’ ‘)de trên khoảng tầm (-2C :+ơC).Giảia) Vöixe(0:+x)tacó= 2 sx*dx + a2 l 2. + 3×3 + C = + 3 r + C.b). Cùng với = (~C :+oo) ta có3cos x – 3*)dx = 3|cos Adix – s’ dx3. – — + C = 3 sin x -l + C. 3. In 3 In 3= 3 sin x – CHÚ Ý:Từ đây, yêu ước tìm nguyên hàm của một hàm số được gọi là search nguyên hàm trên từng khoảng khẳng định của nó.7. Giải tích 12A 97|| – PHƯONG PHÁP TÍNH NGUYÊN HAM1. Phương thức đổi thay đổi số6a) đến !)”dx. Đặt u = = 1, hãy viết (A-1)”dr theo II với du.b) cho !”ody. Đặt = c”, hãy viết “ode theo I và d. ĐINH LÍ1Nếu |f(u)du = F(u) + C cùng u = u() là hàm số có đạo hàm liên tục thì|f(u,v)u"(x)dy = F(u(x) + C.Chứng minh. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta gồm (F(и(x)))” = F”(и).и”(x). Vì chưng F"(t) = fu = f{u()) đề xuất (F(u()))’ = f{u())u"(). Như vậy, phương pháp |f(u)du = F(u) + C đúng vào khi u là đổi mới số độc lập thì cũng đúng vào khi u là một trong hàm số của vươn lên là số độc lập , HÊ QUẢVới u = a + b (a z 0), ta cóF(αA + b) + C. (/Ví dụ 7. Tính