I. Hầu như khái niệm căn bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z điện thoại tư vấn là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: không nên phân của hàm số Un là chênh lệch giá cả của hàm số tại hai chi phí kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 – Un không đúng phân cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai…

Bài Viết: sai phân là gì




Bạn đang xem: Sai phân

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH không nên PHÂNI. đầy đủ khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm bao gồm tập xác định thuộc Z gọi là hàm số bao gồm đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). F(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch ngân sách của hàm số tại hai chi tiêu kế tiếp nhau. Ký kết hiệu: ΔUn = Un +1 – UnSai phân cấp cho m của hàm số Un là không nên phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 – Δm-1UnChẳng hạn sai phân cung cấp 2 đc tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 – Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương trường đoản cú ta rất có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,…, Un+mI. Phƣơng trình không nên phân Định nghĩa : là PT cùng với hàm số đề xuất tìm là một hàm đối số rời rốc f (n) = Un bao gồm mặtdưới dạng sai phân đông đảo cấp.PT không đúng phân cung cấp m gồm dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,…, ΔmUn) = 0Hay rất có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,…, Un+m) = 0Nghiệm của PT không nên phân là hàm số đối số rời rộc Un =f(n) nhưng khi cầm Un = f(n), Un+1=f(n+1),…, Un+m =f(n+m) ta đc một đồng bộ thức bên trên tập hợp rất nhiều số nguyên n0.Nghiệm tổng thể của một PT không đúng phân cung cấp n tất cả dạng : Un =f(n, C1, C2,…,Cn) vào đóC1, C2,…,Cn là gần như hằng số bất kì, khi gán cho từng kí từ C1, C2,…,Cn một trong những xác địnhta đc một nghiệm riêng biệt của PT.PT không đúng phân Ôtônôm là PT tất cả dạng Un+m = f(Un, Un+1,…, Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không nên phân tuyến đường tính1. Phương trình không đúng phân tuyến tính cấp 1Định nghĩa: Là phương trình tất cả dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong số kia an, bn, fn là hồ hết hàm đối số nguyên. Un and Un+một là hai túi tiền kề nhau của hàmUn đối số nguyên cần tìm.Nếu an & bn là phần đông hằng số thì ta gồm phương trình không nên phân thông số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) điện thoại tư vấn là phương trình thuần nhất tương xứng của (1).Ví dụ:Một quý khách có số chi phí là A đồng, đem gửi máu kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%.Lập đồ sộ về tình hình tiền vốn của quý khách. 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình không nên phân cung cấp caoa. Phương trình không đúng phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn and cn là phần lớn hằng số thì ta bao gồm phương trình không đúng phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương trình thuần tuyệt nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là 1 nghiệm của PT không nên phân tuyến đường tính ko thuần nhất and U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã đến Fibonacci một bài toán như sau: “Hômnay, người ta khuyến mãi ngay tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhì tháng tuổi ban đầu đẻ and kế tiếp mỗitháng đẻ một lứa, từng lứa là một trong cặp thỏ. Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: điện thoại tư vấn Fn là số cặp thỏ có được ở tháng máy n.Tháng trước gồm Fn-1 cặp, trong các số ấy chỉ tất cả số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình sai phân cấp cho kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không nên phân tuyến đường tính cấp 1 hệ số hằng1. Phương trình không đúng phân tuyến tính thuần tuyệt nhất Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = – pUnVí dụ:Năm 1990 số lượng dân sinh thủ đô thành phố hà nội là 1,6 triệu người, vận tốc tăng dân sinh là 1% một năm. Hỏidân số thủ đô hà thành năm 2050 là bao nhiêu?Giải: gọi un là dân sinh thủ đô thủ đô năm đồ vật n + 1990 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình sai phân tuyến đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất links Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một nghiệm của PT không đúng phân đường tính ko thuần tuyệt nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất link (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng thể của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tra cứu nghiệm riêng biệt của (1) : q+) Nếu p. -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng rẽ là = qn.IV. Phƣơng trình không đúng phân đường tính cấp 2 thông số hằng1. Phương trình không đúng phân con đường tính thuần độc nhất vô nhị :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: ví như xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng chính là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn & yn chủ quyền tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: giả dụ xn, yn là nghiệm riêng hòa bình tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm bao quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là 1 nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng tỏ rằng trường thọ Au & Bu làm thế nào cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là những hằng số chịu ràng buộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm độc nhất vô nhị Au và Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn những nghiệm của (3) đều màn trình diễn qua xn và yn đ.p.c.mTa kiếm tìm nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0).


Thay vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) hotline là phương trình đặc thù của (3).Tình huống 1: nếu như (4) gồm hai nghiệm thực nhận thấy λ1 and λ2 (3) có hai nghiệmriêng độc lập tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường phù hợp 2: ví như (4) gồm nghiệm kép là λ0, (3) tất cả hai nghiệm riêng độc lập tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng thể Un = (C1+ nC2) λ0n p. .iTrường vừa lòng 3: ví như (4) gồm hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p. ) & với r = A2 + B2 & α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) gồm hai nghiệm riêng chủ quyền tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm bao quát Un = rn . 4Ví dụ 1: search nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm bao quát un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 and B = -1. NVậy nghiệm riêng tán đồng là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tra cứu nghiệm un+2 = 2 un+1 – un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 & λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng yêu cầu tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: tra cứu nghiệm un+2 = 10un+1 – 25unBài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm bao quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: tìm kiếm nghiệm un+2 – 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng nên tìm là un = 1 + nVí dụ 5: tìm nghiệm un+2 – un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm bao quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: kiếm tìm nghiệm un+2 – 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 and B = 0. N.Vậy nghiệm riêng bắt buộc tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình không nên phân đường tính không thuần độc nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta search nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) trường hợp p+q -1 thì nghiệm riêng rẽ là : U*n = 1pq+) giả dụ p+q = -1 rn Khi p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng biệt là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất liên kết ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Tình huống Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét nghỉ ngơi dạng tổng quát cho PT không đúng phân tuyếntính thông số hằng cấp cho k.V. Phƣơng trình sai phân tuyến đường tính cung cấp k hệ số hằng.1. Phương trình sai phân đường tính thuần nhất cấp k thông số hằng:Là phương trình bao gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong số kia a0, a1, …, ak là mọi số thực. 6Ta tìm kiếm nghiệm riêng bên dưới dạng Un = λn, cố kỉnh vào (6) ta tất cả phương trình đặc trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Tình huống 1: giả dụ (7) bao gồm k nghiệm thực nhận thấy λ1, λ2, … λk ta tất cả k nghiệmriêng hòa bình tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường vừa lòng 2:Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 gồm bội s and k-s nghiệm thực dấn ra:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế sửa chữa s nghiệm riêng biệt x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng thể : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+…+ Ck. λknTrường vừa lòng 3: trường hợp phương trình (7) bao gồm nghiệm phức, ví dụ điển hình λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu nghiệm phức phối hợp λ2 = r(cosα – i.sinα) and k-2 nghiệm thực nhận ra, khiđó khớp ứng ta thay thế sửa chữa x1n = rn.cosnα and x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng thể : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: search nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 – 30un = 0.Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 and λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: tra cứu nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 – 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình quánh trưng:λ3 – 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 & λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 và C = -5.Vậy nghiệm riêng thoả mãn là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: tìm kiếm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình không nên phân tuyến đường tính ko thuần nhất cung cấp k thông số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong số đó a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của phương trình (8) bởi nghiệm tổng quát của phươngtrình (6) cộng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sửlà nghiệm tổng quát của (6) và xn là nghiệm riêng biệt của (8).Đặt un =+ xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0+ xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un =+ xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng bất kỳ của (8) cũng là nghiệm riêng của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm tổng thể của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng bất cứ của (8).Phương thức tìm nghiệm riêng biệt xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường phù hợp 1:Nếu λ = một là nghiệm cấp s của phương trình đặc thù ( s hoàn toàn có thể nhận ngân sách 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) & tìm ci bằng phươngpháp hệ số bất định. Trường hợp λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 and tìm Ci bằng phương thức thông số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: ví như λ = β là nghiệm cấp cho s của phương trình đặc trưng (s rất có thể nhận chi phí 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, chũm vào phương trình search Qm(n) bằng phươngpháp hệ số bất định. Trường hợp λ = β ko là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng bao gồm dạngxn= Qm(n).βn, thay vào phương trình search Qm(n) bằng phương thức thông số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường phù hợp 3: Ta search nghiệm riêng rẽ dạng xn = x1n + x2n. 8Trong kia x1n là nghiệm riêng biệt ứng với f1(n) = Rl(n) (mang về tình huống 1) & x2n lànghiệm riêng biệt ứng với f2(n) = Pm(n).βn (mang về trường hợp 2). 5Ví dụ 1: tìm kiếm một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 không là nghiệm ta search nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c – 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n – 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 & c = -10Ví dụ 2: tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 & λ2 = -1 λ = một là nghiệm đơn ta search nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: tra cứu một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 & λ2 = 2 ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 ko là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 – 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 – 2un = -3.

Xem thêm: Cách Tải Trò Chơi Về Điện Thoại Samsung, Cách Tải Game Về Điện Thoại Samsung

2nVí dụ 4: search một nghiệm riêng biệt của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ – 2 = 0 λ1= 2 and λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm 1-1 ta search nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = – 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: sử dụng ví dụ 1 & ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. ứng dụng của phƣơng trình không nên phân 9