Bài trước đang học công thức lượng giác, bài này để giúp đỡ bạn áp dụng công thức một phương pháp linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác thông qua các ví du. Từ đó nhằm mục đích triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không quan trọng đặc biệt và mang về giá trị lượng giác đặc biệt.
Thí dụ 1. Rút gọn gàng biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.Bạn đang xem: Rút gọn các biểu thức sau lớp 10
Biến thay đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét: Như vậy, nhằm rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng cách làm hạ bậc dựa trên phát minh chủ đạo là thay đổi nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn những biểu thức:a. A = $frac1 - cos ^2left( fracpi 2 + alpha ight)1 - sin ^2left( fracpi 2 - alpha ight)$ - cot($fracpi 2$ - α).tan(α - $fracpi 2$).b. B = $fracsin ^42x + cos ^42x an (fracpi 4 - x). an (fracpi 4 + x)$.
a. Chuyển đổi A về dạng:A = $frac1 - sin ^2alpha 1 - cos ^2alpha $ + tanα.cotα = $fraccos ^2alpha sin ^2alpha $ + 1 = $fraccos ^2alpha + sin ^2alpha sin ^2alpha $ = $frac1sin ^2alpha $.b. Biến hóa B về dạng:B = $frac(sin ^22x + cos ^22x)^2 - 2sin ^22x.cos ^22x an (fracpi 4 - x).cot (fracpi 4 - x)>$ = 1 - $frac12$sin24x.Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên họ chỉ việc áp dụng mối tương tác giữa những góc sệt biệt.Thí dụ 3. Rút gọn biểu thức: A = $fracsin x + sin 3x + sin 5xcos x + cos 3x + cos 5x$.
Ta thứu tự có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) với (2) suy ra: A = $fracsin 3xcos 3x$ = tan3x.Nhận xét: Đương nhiên, bạn cũng có thể trình bày theo kiểu biến hóa đồng thời TS cùng MS. Cách trình diễn như trên tất cả tính minh hoạ để những em học sinh lấy nó áp dụng cho đều biểu thức cơ mà độ phức hợp trong các phép thay đổi cho TS cùng MS khác nhau.Thí dụ 4. Rút gọn những biểu thức:a. A = $left( frac1cos 2x + 1 ight)$.tanx. B. B = cos8x.cot4x - $fraccot ^22x - 12cot 2x$.
a. Ta đổi thay đổi: A = $frac1 + cos 2xcos 2x$.tanx = $frac2cos ^2xcos 2x$.$fracsin xcos x$= $frac2cos x.sin xcos 2x$ = $fracsin 2xcos 2x$ = tan2x.b. Ta trở nên đổi: B = cos8x.cot4x - $fraccos ^22x - sin ^22x2cos 2x.sin 2x$= cos8x. $fraccos 4xsin 4x$ - $fraccos 4xsin 4x$= (cos8x - 1) $fraccos 4xsin 4x$ = -2sin24x.$fraccos 4xsin 4x$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét: Như vậy, nhằm rút gọn những biểu thức hỗn hợp chứa sin, cos với tan, cot như trên chúng ta thường biến đổi tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn những biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $frac1sin a.sin 2a$ + $frac1sin 2a.sin 3a$ + ... + $frac1sin na.sin (n + 1)a$.
a. Ta đổi khác biểu thức về dạng:A = $frac12$(1 - cos2a) + $frac12$(1 - cos4a) + ... + $frac12$(1 - cos2na)= $fracn2$ - $frac12$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét nhì trường hợp:Trường thích hợp 1: nếu a = kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường thích hợp 2: nếu a ≠ kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $fraccos (n + 1)a.sin nasin a$Từ đó, suy ra: A = $fracn2$ - $fraccos (n + 1)a.sin na2sin a$.b. Nhân cả nhị vế của biểu thức cùng với sina, ta được:B.sina = $fracsin asin a.sin 2a$ + $fracsin asin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin asin na.sin (n + 1)a$= $fracsin (2a - a)sin a.sin 2a$ + $fracsin (3a - 2a)sin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin <(n + 1)a - na>sin na.sin (n + 1)a$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $fracsin nasin a.sin (n + 1)a$⇔ B = $fracsin nasin ^2a.sin (n + 1)a$.Thí dụ 6. Rút gọn gàng biểu thức A = $frac1sin a$ + $frac1sin 2a$ + ... + $frac1sin 2^na$.
Ta có: $frac1sin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^ka - cos 2^kasin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^kasin 2^ka$ - $fraccos 2^kasin 2^ka$= $frac2cos ^22^k - 1a2sin 2^k - 1a.cos 2^k - 1a$ - cot$^2k$a = cot2$^k-1$a - cot2$^k$a.Suy ra: A = cot$fraca2$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^2n-1$a - cot$^2n$a = cot$fraca2$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7. Rút gọn biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $frac an (k + 1)a - an ka1 + an (k + 1)a. an ka$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $frac an (k + 1)a - an ka an a$ - 1,do đó: tana.tan2a = $frac an 2a - an a an a$ - 1; tan2a.tan3a = $frac an 3a - an 2a an a$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $frac an na - an (n - 1)a an a$ - 1suy ra: A = $frac an mãng cầu - an a an a$ - (n - 1) = $frac an na an a$ - n.Chú ý: tác dụng của câu hỏi trên được áp dụng để dễ dàng và đơn giản biểu thức: A = $frac1cos a.cos 2a$ + $frac1cos 2a.cos 3a$ + ... + $frac1cos na.cos (n + 1)a$.Thật vậy, trường hợp nhân cả hai vế của đẳng thức cùng với cosa, ta được: B.cosa = $fraccos acos a.cos 2a$ + $fraccos acos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos acos na.cos (n + 1)a$= $fraccos (2a - a)cos a.cos 2a$ + $fraccos (3a - 2a)cos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos <(n + 1)a - na>cos na.cos (n + 1)a$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $frac an (n + 1)a an a$ - n - 1 = $frac an (n + 1)a an a$ - 1.Tuy nhiên, rất có thể sử dụng sina để nhận được giải mã độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $frac12$tan$fraca2$ + ... + $frac12^n$tan$fraca2^n$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $fraccos ^2x - sin ^2xsin x.cos x$ = $frac2cos 2xsin 2x$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có những kết quả: tana = cota - 2cot2a, $frac12$tan$fraca2$ = $frac12$cot$fraca2$ - cota,…$frac12^n$tan$fraca2^n$ = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - $frac12^n - 1$cot$fraca2^n - 1$.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - 2cot2a.Thí dụ 9. Rút gọn gàng biểu thức A = $fracsqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x $, với - $fracpi 4$ A = $frac(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )^2(sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x )(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )$= $frac1 + sin 2x + 2sqrt 1 - sin ^22x + 1 - sin 2x1 + sin 2x - 1 + sin 2x$= $frac1 + sqrt cos ^22x sin 2x$ = $frac1 + sin 2x$$mathop = limits^{ - fracpi 4 Chú ý: người ta hoàn toàn có thể sử dụng công dụng của ví dụ như trên để tạo ra những yêu mong khá thú vị, nhằm minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1> và thoả mãn tanx = $fracsqrt 1 + t + sqrt 1 - t sqrt 1 + t - sqrt 1 - t $. Chứng minh rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $frac(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )^2(sqrt 1 + t - sqrt 1 - t )(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )$ = $frac1 + sqrt 1 - t^2 t$.Mặt khác: sin2x = $frac2 an x1 + an ^2x$ = $frac2.frac1 + sqrt 1 - t^2 t1 + left( frac1 + sqrt 1 - t^2 t ight)^2$ = $frac2(1 + sqrt 1 - t^2 )t2(1 + sqrt 1 - t^2 )$ = t.Chú ý: trong số bài toán thi chúng ta thường chạm mặt phải yêu mong "Chứng minh đẳng thức lượng giác hòa bình với biến hóa số".Thí dụ 10. minh chứng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cos$^2$(x - $fracpi 3$) + cos2x + cos2(x + $fracpi 3$).
Ta có thể lựa lựa chọn 1 trong hai cách chuyển đổi sau:Cách 1: Ta trở nên đổi:A = (cosx.cos$fracpi 3$ + sinx.sin$fracpi 3$)2 + cos2x + (cosx.cos$fracpi 3$ - sinx.sin$fracpi 3$)2= ($frac12$cosx + $fracsqrt 3 2$sinx)2 + cos2x + ($frac12$cosx - $fracsqrt 3 2$sinx)2= $frac12$cos$^2$x + $frac32$sin$^2$x + cos$^2$x = $frac32$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $frac32$.Vậy, biểu thức A không dựa vào vào x.Cách 2: Ta trở thành đổi:A = $frac12$<1 + cos(2x - $frac2pi 3$)> + cos2x + $frac12$<1 + cos(2x + $frac2pi 3$)>= 1 + cos2x + $frac12$
Xem thêm: Top 18 Bài Văn Cảm Nghĩ Về Nụ Cười Của Mẹ Lớp 7 Hay Nhất, Top 10 Bài Cảm Nghĩ Về Nụ Cười Của Mẹ
Ta đổi mới đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không nhờ vào vào x đk là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $left< eginarrayl3a = pi - a + 2kpi \3a = - pi + a + 2kpi endarray ight.$⇔ $left< eginarrayla = fracpi 4 + frackpi 2\a = - fracpi 2 + kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^a in (0,,fracpi 2) $ a = $fracpi 4$.Vậy, cùng với a = $fracpi 4$ biểu thức không phụ thuộc vào x.
