Phương trình tổng quát đường thẳng

Bài viết phía dẫn giải pháp viết phương trình tổng thể của con đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy thông qua triết lý và các ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Phương trình tổng quát đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ ta đề xuất xác định:+ Điểm $A(x_0;y_0) in Delta $.+ Một vectơ pháp tuyến $overrightarrow n left( a;b ight)$ của $Δ.$Khi kia phương trình tổng thể của $Δ$ là $aleft( x – x_0 ight) + bleft( y – y_0 ight) = 0$.Chú ý:a. Đường trực tiếp $Δ$ bao gồm phương trình bao quát là: $ax + by + c = 0$, $a^2 + b^2 e 0$ nhận $overrightarrow n left( a;b ight)$ làm vectơ pháp tuyến.b. Nếu hai tuyến phố thẳng tuy vậy song với nhau thì VTPT con đường thẳng này cũng chính là VTPT của con đường thẳng kia.c. Phương trình đường thẳng $Δ$ qua điểm $Mleft( x_0;y_0 ight)$ có dạng $Δ$: $aleft( x – x_0 ight) + bleft( y – y_0 ight) = 0$ với $a^2 + b^2 e 0$. Đặc biệt:+ Nếu đường thẳng $Δ$ tuy vậy song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = x_0$.+ Nếu đường thẳng $Δ$ giảm trục $Oy:$ $Δ:$ $y – y_0 = kleft( x – x_0 ight)$.d. Phương trình con đường thẳng đi qua $Aleft( a;0 ight), Bleft( 0;b ight)$ với $ab e 0$ có dạng $fracxa + fracyb = 1$.

Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC$ biết $Aleft( 2;0 ight), Bleft( 0;4 ight), C(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của:a. Đường cao $AH$.b. Đường trung trực của đoạn trực tiếp $BC$.c. Đường thẳng $AB$.d. Đường trực tiếp qua $C$ và tuy nhiên song với con đường thẳng $AB$.

a. Vì $AH ot BC$ nên $overrightarrow BC $ là vectơ pháp con đường của $AH.$Ta tất cả $overrightarrow BC left( 1; – 1 ight)$ suy ra đường cao $AH$ đi qua $A$ và nhận $overrightarrow BC $ là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.left( x – 2 ight) – 1.left( y – 0 ight) = 0$ hay $x – y – 2 = 0$.b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ đi qua trung điểm $BC$ và dìm vectơ $overrightarrow BC $ làm vectơ pháp tuyến.Gọi $I$ là trung điểm $BC$ khi đó $x_I = fracx_B + x_C2 = frac12$, $y_I = fracy_B + y_C2 = frac72$ $ Rightarrow Ileft( frac12;frac72 ight)$.Suy ra phương trình tổng thể của mặt đường trung trực $BC$ là:$1.left( x – frac12 ight) – 1.left( y – frac72 ight) = 0$ hay $x – y + 3 = 0$.c. Phương trình bao quát của mặt đường thẳng $AB$ có dạng $fracx2 + fracy4 = 1$ hay $2x + y – 4 = 0$.d. Giải bởi 2 phương pháp sau:Cách 1: Đường thẳng $AB$ có VTPT là $overrightarrow n left( 2;1 ight)$ do đó vì chưng đường thẳng đề nghị tìm song song với mặt đường thẳng $AB$ nên nhận $overrightarrow n left( 2;1 ight)$ làm VTPT cho nên có phương trình tổng quát là $2.left( x – 1 ight) + 1.left( y – 3 ight) = 0$ hay $2x + y – 5 = 0$.Cách 2: Đường trực tiếp $Δ$ song song với mặt đường thẳng $AB$ có dạng $2x + y + c = 0$.Điểm $C$ thuộc $Δ$ suy ra $2.1 + 3 + c = 0$ $ Rightarrow c = – 5$.Vậy con đường thẳng bắt buộc tìm bao gồm phương trình tổng thể là $2x + y – 5 = 0$.

Ví dụ 2: cho đường thẳng $d:x – 2y + 3 = 0$ và điểm $Mleft( – 1;2 ight)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ biết:a. $Δ$ trải qua điểm $M$ và có thông số góc $k = 3$.b. $Δ$ đi qua $M$ và vuông góc với mặt đường thẳng $d$.c. $Δ$ đối xứng với mặt đường thẳng $d$ qua $M$.

a. Đường trực tiếp $Δ$ có hệ số góc $k = 3$ có phương trình dạng $y = 3x + m$.Mặt không giống $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = 3.left( – 1 ight) + m$ $ Rightarrow m = 5$.Suy ra phương trình tổng thể đường thẳng $Δ$ là $y = 3x + 5$ hay $3x – y + 5 = 0$.b. Ta có $x – 2y + 3 = 0$ $ Leftrightarrow y = frac12x + frac32$ cho nên vì thế hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k_d = frac12$.Vì $Delta ot d$ nên thông số góc của $Δ$ là $k_Delta $ thì $k_d.k_Delta = – 1 Rightarrow k_Delta = – 2$.Do kia $Delta :y = – 2x + m$, $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m$ $ Rightarrow m = – 2$.Suy ra phương trình tổng thể đường trực tiếp $Delta $ là $y = – 2x – 2$ hay $2x + y + 2 = 0$.c. Giải bằng 2 biện pháp sau:Cách 1: Ta bao gồm $ – 1 – 2.2 + 3 e 0$ do đó $M otin d$ vì vậy mặt đường thẳng $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$ sẽ tuy vậy song với mặt đường thẳng $d$ suy xuống đường thẳng $Δ$ có VTPT là $overrightarrow n left( 1; – 2 ight)$.Ta bao gồm $Aleft( 1;2 ight) in d$, gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $M$ khi đó $A’ in Delta $.Ta tất cả $M$ là trung điểm của $AA’$.$ Rightarrow left{ eginarray*20cx_M = fracx_A + x_A’2\y_M = fracy_A + y_A’2endarray ight.$ ${ Rightarrow left eginarray*20cx_A’ = 2x_M – x_A = – 3\y_A’ = 2y_M – y_A = 2endarray ight.$ $ Rightarrow A’left( – 3;2 ight)$.Vậy phương trình tổng thể đường trực tiếp $Δ$ là $1.left( x + 3 ight) – 2left( y – 2 ight) = 0$ hay $x – 2y + 7 = 0$.Cách 2: hotline $Aleft( x_0;y_0 ight)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt đường thẳng $d$, $A’left( x;y ight)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$.Khi kia $M$ là trung điểm của $AA’$, suy ra:$left{ eginarray*20cx_M = fracx_0 + x2\y_M = fracy_0 + y2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20c – 1 = fracx_0 + x2\2 = fracy_0 + y2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20cx_0 = – 2 – x\y_0 = 4 – yendarray ight.$Ta tất cả $A in d$ $ Rightarrow x_0 – 2y_0 + 3 = 0$, suy ra:$left( – 2 – x ight) – 2.left( 4 – y ight) + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0$.Vậy phương trình tổng thể của $Δ$ đối xứng với mặt đường thẳng $d$ qua $M$ là $x – 2y + 7 = 0$.

Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành gồm phương trình $x – y = 0$ và $x + 3y – 8 = 0$, tọa độ một đỉnh của hình bình hành là $left( – 2;2 ight)$. Viết phương trình các cạnh còn sót lại của hình bình hành.

Đặt tên hình bình hành là $ABCD$ với $Aleft( – 2;2 ight)$, do tọa độ điểm $A$ không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên đề nghị ta đưa sử $BC: x – y = 0$, $CD:x + 3y – 8 = 0$.Vì $ABparallel CD$ cần cạnh $AB$ nhấn $overrightarrow n_CD left( 1;3 ight)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.left( x + 2 ight) + 3.left( y – 2 ight) = 0$ hay $x + 3y – 4 = 0$.Tương từ cạnh $AD$ dìm $overrightarrow n_BC left( 1; – 1 ight)$ làm VTPT cho nên có phương trình là $1.left( x + 2 ight) – 1.left( y – 2 ight) = 0$ hay $x – y + 4 = 0$.

Ví dụ 4: mang lại điểm $Mleft( 1;4 ight)$. Viết phương trình con đường thẳng qua $M$ lần lượt giảm hai tia $Ox$, tia $Oy$ tại $A$ và $B$ thế nào cho tam giác $OAB$ có diện tích bé dại nhất.

Xem thêm: Viết Bài Văn Tả Mẹ Lớp 6 ❤️️ 15 Bài Kể Về Mẹ Ngắn Hay Nhất, Tả Mẹ Của Em

Giả sử $Aleft( a;0 ight), Bleft( 0;b ight)$ với $a > 0, b > 0$. Khi đó đường thẳng trải qua $A, B$ có dạng $fracxa + fracyb = 1$. Do $M in AB$ nên $frac1a + frac4b = 1$.Mặt khác $S_OAB = frac12OA.OB = frac12ab$.Áp dụng BĐT Côsi, ta có: $1 = frac1a + frac4b ge 2sqrt frac4ab $ $ Rightarrow ab ge 16 Rightarrow S_OAB ge 8$.Suy ra $S_OAB$ nhỏ tuyệt nhất khi $frac1a = frac4b$ và $frac1a + frac4b = 1$ do đó $a = 2; b = 8$.Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $fracx2 + fracy8 = 1$ hay $4x + y – 8 = 0$.