Các dạng toán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài tập trường đoản cú cơ phiên bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm quen với những hàm lượng giác thì các dạng bài bác tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp sau mà các em đang học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? họ cùng tò mò qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương thức giải này để gia công các bài bác tập trường đoản cú cơ phiên bản đến cải thiện về phương trình lượng giác.

I. định hướng về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α vừa lòng điều khiếu nại

*

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

*

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với mỗi phương trình.

* lấy ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số trong những phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã đến về phương trình cơ phiên bản như Dạng 1.

* lấy ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu lại ý: bài bác toán áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: Bài toán bên trên có áp dụng công thức biến đổi tổng kết quả và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai bao gồm một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu giữ ý: Khi để t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải bao gồm điều kiện: -1≤t≤1

* lấy một ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 đề xuất loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa phải là nghiệm của phương trình bởi vì a≠0,

 Chia 2 vế đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta gắng d = d.sin2x + d.cos2x, với rút gọn mang đến dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ biện pháp 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ giải pháp 2: Sử dụng bí quyết sinx cùng cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* lưu giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) bao gồm nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu giữ ý: bài bác toán áp dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Vải Fleece Là Gì Cụm Từ Vải Fleece Là Gì, Fleece Là Gì Cụm Từ Vải Fleece Là Gì

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu lại ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- vì thế sau khi tìm được nghiệm của PT (*) buộc phải kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa hẳn là PT dạng đối xứng mà lại cũng rất có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài xích tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với những giá trị như thế nào của x thì giá bán trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài xích 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT bao gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải mã bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải mã bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0