Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kỹ năng và kiến thức cơ sở cho các bài học tập về nhân chia đối kháng thức, đa thức quan trọng đặc biệt trong những biểu thức phân số gồm chứa đổi thay trong chương trình toán 8 và cả những lớp sau này.
Bạn đang xem: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng
Chính bởi vì vậy, mà việc nắm vững các cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là điều rất phải thiết. Bài viết dưới đây đã tổng hòa hợp các phương thức phân tích nhiều thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài bác tập này.
I. Các cách thức phân tích nhiều thức thành nhân tử
1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
* Phương pháp:
- Tìm nhân tử thông thường là những đơn thức, nhiều thức xuất hiện trong tất cả các hạng tử.
- đối chiếu mỗi hạng tử thành tựu của nhân tử tầm thường và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra bên ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử sót lại của từng hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả dấu của chúng).
* Ví dụ. so với các đa thức sau thành nhân tử.
a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)
b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)
2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với phương thức dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
- thay đổi đa thức bạn đầu về dạng rất gần gũi của hằng đẳng thức, kế tiếp sử dụng hằng đẳng thức để gia công xuất hiên nhân tử chung.
- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức đáng nhớ:
♦ (A+B)2= A2+2AB+B2
♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (A-B)(A+B)
♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Giải pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức nhóm nhiều hạng tử
* Phương pháp:
- phối hợp các hạng tử phù hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng liên tiếp các cách thức đặt nhân tử thông thường hoặc sử dụng hằng đẳng thức.
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách thêm sút 1 hạng tử hoặc bóc hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp:
- vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về đội hạng tử phổ biến hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Phối thích hợp nhiều cách thức để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp: Sử dụng các cách thức trên theo thứ tự ưu tiên.
- phương thức đặt nhân tử chung.
- cách thức dùng hằng đẳng thức.
- phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
* Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử
a) 3xy2 - 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong công đoạn này A là y B là 1)
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)
= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong bước này A là x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong đoạn này A là x+ 1 còn B là y)
II. Vận dụng giải một trong những dạng bài xích tập phân tích nhiều thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) đề xuất ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý giá của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 cùng y = 1999.
* giải thuật bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- giữ ý: cùng với dạng bài xích tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử thông thường rồi đối chiếu thành nhân tử trước khi tính giá trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) yêu cầu ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* giải thuật bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
- tóm lại có 2 giá trị x toại ý là x = 2000 với x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
- Kết luận: Có ba giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 với x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết đến 54 (với n là số trường đoản cú nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- bởi vì 54 chia hết mang lại 54 đề nghị 55n.54 luôn luôn chia hết đến 54 cùng với n là số trường đoản cú nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.
Bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* giải thuật bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* giải mã bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a) 2 - 25x2 = 0
- Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 cùng x= √2/5.
b)
- Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* giải mã bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử máy 1 và thứ 2, hạng tử sản phẩm 3 cùng thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) biện pháp 2: Nhóm hạng tử lắp thêm 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ hai và lắp thêm 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử trước tiên với nhau với hai hạng tử cuối với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử đầu tiên với hạng tử lắp thêm 3; hạng tử thứ hai với hạng tử sản phẩm công nghệ 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
* lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)
= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>
= 3<(x + y)2 – z2>
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)> = (x – y – z + t)(x – y + z –t) Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 * giải thuật bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ 
- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0
⇔
- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
* giải mã bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1
= x(x2 – 2x + 1)
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)
= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>
= 2<(x + 1)2 – y2>
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2
= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân tách hết cho 5 với mọi số nguyên n.
* giải thuật bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
- vày 5 ⋮ 5 cần 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
Xem thêm: Lc At Sight Là Gì ? Phân Biệt Với Defered L/C Và Upas L/C? L/C At Sight Là Gì
⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết đến 5 cùng với n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta ko thể vận dụng ngay các phương thức đã học nhằm phân tích cơ mà nếu tách bóc hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dãi phân tích tiếp.
Cũng bao gồm thể bóc 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, tự đó tiện lợi phân tích tiếp)