1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K ví như F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e mũ căn x

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm bao gồm 3 tính chất đặc biệt quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng phương pháp nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở nên tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà lại ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = – 3sinx.dxBước 3: bộc lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u cùng dv: tìm được v tiện lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: thứ tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, hai đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn phương pháp bấm máy vi tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 cách sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: dìm phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì sẽ là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm đồ vật tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A với C nếu mang đến X = 2 thì phần đa cho tác dụng là 0. Vậy khi bao gồm trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất thì cho X một giá trị mang lại biểu thức trong trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất âm.

Kết luận: Chọn lời giải A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, thực hiện theo quá trình sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nuốm vào cách làm nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như bên trên ta đang khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Dạ Sách Bò Là Gì ? Cách Chọn Mua, Sơ Chế Sách Bò Trắng, Sạch, Không Hôi

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số ấy $A(x)$ và $B(x)$ là những đa thức cùng bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc đó ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, do đó ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta áp dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo thừa nhận xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng độc nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$