Thành viên442 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation & football (MU is mylife)
Lời tựa: Đ?#8220;ng dư là 1 trong công cụ quan trọng trong số học. Đ?#8220;ng dư được xây dựng vì chưng nhà tóan học kĩ năng Gass. Tuy nhiên thì so với các em trung học cơ sở đ?#8220;ng dư là phân học khá khó hiểu cùng trìu tượng. Trải qua không ít cuộc nói chuyện với những em lớp 8,9 đ?#8220;ng thời thỏa mãn nhu cầu nhu ước thi trường chuyên lớp chọn của cá em, mình ra quyết định lập ra topic này để mọi tín đồ vào đàm phán về đ?#8220;ng dư cùng lí thuyết đ?#8220;ng dư, mình hi vọng rằng mọi thắc mắc về đ?#8220;ng dư sẽ đc giải quyết ở đây và topic này sẽ bổ ích nhiều cho những em trong vấn đề học tập và nghiên cứu toán họcDự định của mình là vẫn post 4 bài bác giảng lớn của các thầy cơ mà mình đc học (có lựa chọn lọc) và một số bài tập. Mong mỏi mọi ngưởi cho ý kiếnLưu ý vào topic này ta chỉ xét các số trên tập Z do vậy nếu như hok nói chi thêm thì những số sẽ là số nguyên--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC1.1 Định nghĩa : đến số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu lúc chia a, b mang đến m ta đc cùng một số trong những dư thì ta nói a đồng dư cùng với b theo modulo m$=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( rkhi kia ta kí hiệu $a \equiv b \pmodm$1.2 Định lí: các mệnh đề sau là tương đươngi, $ a \equiv b$ii, $m|(a-b)$iii, $\exists t \in \mathbbZ : a=b +mt$ tía mệnh đề bên trên ta dễ dãi cm được bằng định nghĩa.1.3 Tính Chất. Hệ quả1. Bội phản xạ: $a \equiv a \pmodm$ đối xứng: $a \equiv b \pmodm \Rightarrow b \equiv a \pmodm$ bắc cầu: $a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)$2. Ta hoàn toàn có thể cộng (trừ) từng vế các đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m cùng với nhau: $a_k \equiv b_k (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_k \in 1, -1 => \sum\limits_k=1^n \varepsilon_k a_k \equiv \sum\limits_k=1^n \varepsilon_k b_k (modm)$3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : $a_k \equiv b_k (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_k=1^na_k \equiv \prod\limits_k=1^n b_k (modm)$*hệ quả:a, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)$$b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)$$c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)$điều trái lại chỉ đúng lúc (m,c)=1d, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)$ $e, a \equiv b(modm) => a^n \equiv b^n (modm)$4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 lúc ấy $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfracad \equiv \dfracbd (modm)$5. Ví như d\ (a,b,m) khi đó $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfracad \equiv \dfracbd (mod \dfracmd)$6. $a \equiv b( hack m_k ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod )$ ở đây $$ là bội chung bé dại nhất của $m_1, m_2,..m_n$. Đây là tc khá quan trọng và có áp dụng khá lớn.7. Nếu như $a \equiv b (modm)$ thì tập hợp ước phổ biến của a và m (X) bằng tập ước tầm thường của b cùng m (Y)CM : centimet $X \subset Y$ và $Y \subset X$giả sử $x \in X$ lúc ấy a,m phân tách hết cho x nhưng mà a-b phân chia hết mang đến m => a-b phân chia hết mang đến x, vị a chia hết mang lại x => b chia hết mang lại x => x là ước chung của b với m => $x \in Y => X \subset Y$tương tự ta vẫn cm đc $Y \subset X => X=Y$-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Các tính chất và hệ quả được cm khá đơn giản và dễ dàng bằng định nghĩa vì vậy phần nhiều người hoàn toàn có thể tự cm ( nếu hok cm đc cái nào hoàn toàn có thể mạnh dạn hỏi bản thân sẽ lời giải cho)TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)

#2inhtoan


inhtoan

Thành viên964 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:HN city

BT cơ phiên bản :1)CM:$ 12^2n + 1 + 11^n + 2 \vdots 133 $2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $3)CM:$ 3^2010 + 5^2013 \vdots 13 $4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không để $ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \vdots 223 $6)Tìm dư:$ \rma\rm. 23^\rm34 ^^\rm19 \rm:17 b\rm. 46^\rm2345 \rm : 37 c\rm. 239^237^54 \rm :135 d\rm. 2^\rm1000000 \rm : 3^10 $7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

#3hung0503


hung0503

benjamin wilson

Thành viên492 bài xích viếtGiới tính:NamĐến từ:LA

có bài bác này e ko hiểu các bạn giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm trường hợp m là số nguyên dương thì bất kì số nguyên a nào cũng đồng dư với một cùng chỉ một trong những của dãy số 0,1,2,....,m-1 theo mod mbài giải: ta gồm $a=mq+r ;0 \leq rcần cm hai số dư đều nhau trong phép phân tách cho mgiả sử $ 0 \leq r_1 cùng $ r_1 \equiv r_2(mod m)* \Rightarrow r_1- r_2=pm $Ta có $ 0 \leq r_1$ \Rightarrow -mcho em hỏi cái * này là ở chỗ nào ra ạ và sao mình lại suy ra được dòng **

What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........

Bạn đang xem: Lý thuyết đồng dư


#4 hongthaidhv


hongthaidhv

GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

Thành viên442 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation and football (MU is mylife)
có bài xích này e ko hiểu cả nhà giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm nếu như m là số nguyên dương thì bất kì số nguyên a nào cũng đ?#8220;ng dư cùng với một với chỉ một số của hàng số 0,1,2,....,m-1 theo hack mBài này dễ mà em ( đặc điểm cơ bản). Mang sử $a \equiv p. ( modm)$ cùng $a \equiv r ( modm) ( 0 \leq p\ , r => p \equiv r (modm) =>( p-r) \vdots m$, đưa sử $p>r => (p-r ) \geq m$ ( tính chất cơ bản) ( vô lí bởi vì $p, r p=r$ ( đpcm)

#5hung0503


hung0503

benjamin wilson

Thành viên492 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:LA

anh gọi sai ý em rồi..........ý em là em ko hiểu một trong những chỗ trong giải pháp cm trên........anh giúp em với....em cảm ơn

What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........


#6hung0503


hung0503

benjamin wilson

Thành viên492 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:LA

ko biết em post vào đây đúng ko vị nó ở trong về phân tách hết......ta có đặc điểm : nếu a cùng b là 2 số nguyên, b dương thì ta được a=bq+r trong đó $ 0 \leq rvậy tại sao trong bài bác cm $ a^3-3$ ko phân chia hết mang đến 7 thì ta lại màn trình diễn a=7k+r với r thuộc 0,1,-1,-2,2,3,-3sao cơ hội thì để là $ 0 \leq rxin các bạn giúp đỡ em còn những thiếu sót, em xin cảm ơn

What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........


#7inhtoan


inhtoan

Thành viên964 bài bác viếtGiới tính:Nam Đến từ:HN city

vậy lý do trong bài bác cm $ a^3-3$ ko phân chia hết mang lại 7 thì ta lại màn biểu diễn a=7k+r cùng với r ở trong 0,1,-1,-2,2,3,-3sao thời điểm thì nhằm là $ 0 \leq ra=7k+r(r=0,1,-1,-2,2,3,-3) không mâu thuẫn với điều kiện $ 0 \leq rNếu ta màn trình diễn a=7k+6 cùng a=7k-1 vậy lúc $ a^3 $ thì cách màn biểu diễn nào dễ minh chứng bài toán hơn...

*
Bài toán này cũng rất có thể giải bằng đồng đúc dư.

Xem thêm: Cách Uống Hạt Chia Đúng Cách, Có Thể Trộn Với Sữa Chua, Yến Mạch


#8hongthaidhv


hongthaidhv

GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

Thành viên442 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation & football (MU is mylife)

ko biết em post vào đó đúng ko do nó thuộc về chia hết......ta có đặc điểm : ví như a và b là 2 số nguyên, b dương thì ta được a=bq+r trong đó $ 0 \leq rvậy tại sao trong bài cm $ a^3-3$ ko phân chia hết mang lại 7 thì ta lại màn trình diễn a=7k+r cùng với r thuộc 0,1,-1,-2,2,3,-3sao dịp thì nhằm là $ 0 \leq rxin anh chị giúp đỡ em còn những thiếu sót, em xin cảm ơn

Hi, đây là thắc mắc hay. Việc này ta hoàn toàn hoàn toàn có thể giả sử $a=7k+r$ với $r \in \ 0;1;2;3;4;5;6\ $ nó không ảnh hưởng chi đến phương pháp cm cả. Nhưng ở chỗ này khi ta để nó là $\pm1; \pm2; \pm 3$ thì khi ta lập phương lên nó đang gọn rộng thui , nếu em hok yêu thích thì rất có thể đặt lại

#9hongthaidhv


hongthaidhv

GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

Thành viên442 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation và football (MU is mylife)

có bài xích này e ko hiểu các bạn giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm giả dụ m là số nguyên dương thì bất kể số nguyên a nào cũng đồng dư với một và chỉ một số của hàng số 0,1,2,....,m-1 theo hack mbài giải: ta tất cả $a=mq+r ;0 \leq rcần cm hai số dư bằng nhau trong phép phân chia cho mgiả sử $ 0 \leq r_1 cùng $ r_1 \equiv r_2(mod m)* \Rightarrow r_1- r_2=pm $Ta có $ 0 \leq r_1$ \Rightarrow -mcho em hỏi cái * này là ở chỗ nào ra ạ với sao mình lại suy ra được chiếc **

à anh gọi ý em rùi, dòng * này là ta mang sử khi phân tách a mang lại q ta đc hai số dư là $r_1$ với $r_2$ . Còn từ * => ** là giả sử $r_1-r_2 \neq 0$, ta luôn giả sử đc $r_1 >r_2$ lúc ấy ta bao gồm $m>r_1 -r_2 >0$, lại vị $r_1 -r_2$ phân tách hết cho $m>0 => r_1 -r_2 >m$ ( mâu thuẫn) $=> r_1-r_2 =0$

#10No Problem


No Problem

Hạ sĩ

Thành viên67 bài bác viếtGiới tính:Nam

BT cơ bạn dạng :1)CM:$ 12^2n + 1 + 11^n + 2 \vdots 133 $2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $3)CM:$ 3^2010 + 5^2013 \vdots 13 $

Chà nhiều bài bác thế này sao hok ai làm, thui để em gà có tác dụng mấy bài bác dễ trước vậy
*
1)$12^2n + 1 + 11^n + 2\equiv \ 11^n.12+11^n+2\equiv \ 0(mod 133) $2)$ 2.31^n + 1 \equiv \ 3(mod3) $3)$ 3^2010 + 5^2013 \equiv \ 3^3.670+5^2.1006+1\equiv \ 1+-1\equiv 0 (mod13)$

#11No Problem


No Problem

Hạ sĩ

Thành viên67 bài xích viếtGiới tính:Nam

BT cơ phiên bản :5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không để $ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \vdots 223 $

Ta có$2008\equiv \ 1(mod223)$$ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \equiv \ 2 (mod223)$

#12No Problem


No Problem

Hạ sĩ

Thành viên67 bài xích viếtGiới tính:Nam

BT cơ bạn dạng :7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

$ A = 46^2k+1 + 296.13^2k+1 \equiv \ 13^2k+13^2k+1.296\equiv \ 13^2k(46+293.13)\equiv \ 0 (mod 1947) $

#13Zaraki


Zaraki

PQT

Phó quản ngại trị
*
4267 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Đảo mộng mơ.Sở thích:Mathematics, Manga

4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $

Áp dụng tính chất_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod3$._ $a^2 \equiv 0,1 \pmod4$.