Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là con kiến thức đặc biệt quan trọng của toán 11 ở trong bậc THPT. Để học xuất sắc phần này chúng ta cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt những dạng vào giải bài xích tập.

Bạn đang xem: Lim toán 11

Đang xem: cách làm tính giới hạn lim lớp 11


1. Triết lý giới hạn hàm số

1.1 số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): mang sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một trong những hàm số xác định trên một khoảng chừng (a; b), rất có thể trừ tại một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L lúc x dần mang lại x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hòa hợp (a; b) x0 nhưng mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( xight) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0


Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( xight) = fleft( x_0ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): đưa sử (a; b) là một khoảng đựng điểm x0 cùng y = f (x) là 1 hàm số xác định trên một khoảng tầm (a; b), rất có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô rất khi x dần mang đến x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) x0 nhưng lim xn = x0

ta đều sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi kia ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( xight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ lúc x → x0

1.2 giới hạn của hàm số trên vô cực

Định nghĩa 3. Mang sử hàm số y = f (x) khẳng định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) nhưng lim xn = +∞

ta đều phải có lim f (xn) = L

*

1.3 một số trong những định lý về giới hạn hữu hạn

Sau đó là 3 định lý đặc biệt quan trọng về số lượng giới hạn hữu hạn hàm số

*

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên buộc phải hay số lượng giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau

*

1.5 một trong những quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đó là 2 Quy tắc đặc biệt đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ

*

1.6 các dạng vô định

*

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

Sử dụng những định nghĩa 1, tư tưởng 2, quan niệm 3.

Bài tập 1. thực hiện định nghĩa số lượng giới hạn hàm số, tìm những giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

*

Dạng 2. Minh chứng rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( xight)$ ko tồn tại

Ta triển khai theo quá trình sau:


READ: lưu lại Lượng mẫu Chảy Là Gì? công thức Tính giữ Lượng loại Chảy Qua Đường Ống

*

Bài tập 2: Tìm số lượng giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos xight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số xn và yn với:

*

Dạng 3. Các định lí về số lượng giới hạn và giới hạn cơ bản để tra cứu giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm số lượng giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số mà lại ta đang biết giới hạn.

Xem thêm: Lập Dàn Ý Chứng Minh Câu Tục Ngữ Ăn Quả Nhớ Kẻ Trồng Cây (11 Mẫu)

Ta có kết quả sau:

*

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, ví dụ Giả sử buộc phải tính số lượng giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( xight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( xight)$

ta thực hiện công việc sau:

*

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + xight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + xight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác minh tại điểm x0 thì số lượng giới hạn của nó lúc x → x0 có giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( xight)gleft( xight)$ bao gồm f(x0) ≠ 0 với g(x0) = 0 thì số lượng giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.Trong trường hợp với hàm số $fracfleft( xight)gleft( xight)$ gồm f(x0) = 0 (tức bao gồm dạng $frac00$)Chúng ta cần sử dụng những phép đổi khác đại số để khử dạng $frac00$, và thường thì là làm xuất hiện thêm nhân tử chung (x − x0)

Dạng 4. Tính số lượng giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng những định lí với lưu ý sau:

x → $x_0^ + $; được gọi là x → x0 cùng x > x0 ( khi đó |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được gọi là x → x0 và x 0 ( khi ấy |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của những giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6ightx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracx – 2$


READ: ✅ bí quyết Toán 11 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️, Trọn Bộ công thức Toán 11

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, trường hợp hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì số lượng giới hạn một mặt của nó không không giống so với số lượng giới hạn tại x0

Dạng 5. Số lượng giới hạn của hàm số số kép

*

Bài tập 5. Cho hàm số

*

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( xight)$ và $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( xight)$

Lời giải

*

Dạng 6. Một vài qui tắc tính số lượng giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản chất của vấn đề khử dạng không xác minh $frac00$ là làm lộ diện nhân tử chung để:

Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác địnhHoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, không còn xa lạ đã biết hiệu quả hoặc biết cách giả

*

Dạng 8. Số lượng giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối cùng với dạng 0.∞ cùng ∞0 ta lựa chọn một trong hai biện pháp sau

Cách 1: sử dụng phương pháp biến hóa để tận dụng các dạng số lượng giới hạn cơ bản

Cách 2: sử dụng nguyên lí kẹp giữa với những bước

*

b) Đối với dạng 1∞ nên nhớ các giới hạn cơ bạn dạng sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + xight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1xight)^x = e$

Trên phía trên là bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và các dạng bài xích tập thường xuyên gặp. Bài bác tới ta đang học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.

Mọi vướng mắc bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp cụ thể hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả


Post navigation


Previous: cao su đặc Lưu Hóa Công Thức cao su Lưu Hóa tất cả 2% lưu hoàng Về Khối Lượng
Next: Nên marketing Gì Bây Giờ? 99 Ý Tưởng kinh doanh Mới trăng tròn Ý Tưởng kinh doanh 2021 tìm Bội Tiền