Hai khối đa diện đều nhau thì rất có thể tích bằng nhau.Nếu 1 khối đa diện được phân tạo thành các khối nhiều diện bé dại thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của những khối nhiều diện nhỏ.Khối lập phương gồm cạnh bằng 1 thì rất có thể tích bằng 1.

Bạn đang xem: Khái niệm về thể tích khối đa diện


Giả sử có 1 khối vỏ hộp chữ nhật cùng với 3 size a, b, c rất nhiều là đông đảo số dương. Khi ấy thể tích của nó là:(V=a.b.c).

*


Thể tích của 1 khối chóp bắng một phần ba tích số của mặt đáy và độ cao khối chóp đó:(V=frac13S_day.h.)

*

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

*

Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta rước lần lượt những điểm A", B", C".

Ta có:(V_S.A"B"C" = fracSA".SB".SC"SA.SB.SC.V_S.ABC).


Thể tích của khối lăng trụ bởi tích số của diện tích dưới đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

*

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)

6. Vấn đề Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC tất cả tam giác ABC vuông tại B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), kề bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy cùng (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông tại B buộc phải (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:

( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a )

(= fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông trên A tất cả (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh (asqrt2), lân cận SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy với (SC=a sqrt5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông tại A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

(V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA )

(= frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác đông đảo S.ABC gồm cạnh đáy bằng (asqrt3), bên cạnh bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

O là giữa trung tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC hầu như cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 )

(= frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông trên A đề xuất ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a, lân cận SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC chế tác với dưới đáy một góc bởi 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

(SA ot (ABCD))nên AC là hình chiếu của SC lên phương diện mặt phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) )

(= widehat SCA = 60^o.)

Diện tích lòng là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông tại A có:

(AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 )

(Rightarrow SA = AC. an 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là:

(V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA )

(= frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, cạnh (BC=asqrt2,)cạnh bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy; mặt mặt (SBC) chế tạo ra với dưới đáy (ABC) một góc bởi 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)do (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra:

(widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) )

(= widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận trên A gồm (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)và (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC )

(= frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có:

(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. an 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

7. Việc Tính thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 1:

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác vuông trên B, AB = a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông trên B yêu cầu (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông tại A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

(V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

Ví dụ 2:

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác rất nhiều cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên khía cạnh phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A"A hợp với mặt dưới (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

G là giữa trung tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do kia AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên khía cạnh phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC đa số cạnh (2asqrt3)nên:

(S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông trên G tất cả :

(widehat A = 30^0,)

(AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. an 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

8. Việc về cách làm tính tỷ số thể tích

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm tam giác ABC hầu hết cạnh 2a, sát bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SA=asqrt3.)Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN cùng A.BCNM.

Lời giải:

*

Khối chóp S.AMN cùng S.ABC bao gồm chung đỉnh S và góc sinh sống đỉnh S.

Do kia theo cách làm tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

Ví dụ 9:

Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình bình hành, M cùng N theo trang bị tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Xem thêm: Nct Là Gì Trên Facebook Thông Dụng Nhất Hiện Nay, Viết Tắt Trên Facebook

Lời giải:

*

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và

(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Khi đó:

(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 )

(Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:

(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 )