Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa tất cả tập xác minh khác nhau, phụ thuộc vào (alpha): 

- giả dụ (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa có dạng

- ví như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập những định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác minh là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác định (R), trong những khi đó các hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều có tập khẳng định ((0; +∞)). Vị vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( xuất xắc (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là mọi hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số nón tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai hồ hết (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu hàm số (u=u(x)) nhận giá trị dương và tất cả đạo hàm trong tầm (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng có đạo hàm trên (J) cùng " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số mũ nguyên dương

Trong trường hòa hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy vượt (y=x^n) có tập xác minh là (R) và bao gồm đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được không ngừng mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) có đạo hàm trong vòng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) gồm tập khẳng định là (Rackslash left 0 ight\) và tất cả đạo hàm tại đông đảo (x) khác (0), phương pháp đạo hàm hàm số lũy thừa tổng thể được mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) tất cả đạo hàm trong tầm (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa (y = x^frac1n) (tập khẳng định của (y = sqrtx) chứa tập xác định của (y = x^frac1n) và bên trên tập xác định của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) bao gồm tập khẳng định (R). Trên khoảng chừng ((0; +∞) ) ta bao gồm (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với đa số (x) làm cho hai vế gồm nghĩa.

Xem thêm: Chứng Minh Văn Chương Gây Cho Ta Những Tình Cảm Ta Không Có, Please Wait

Sử dụng luật lệ đạo hàm hàm hòa hợp ta suy ra: nếu như (u=u(x)) là hàm gồm đạo hàm trên khoảng tầm (J) và thỏa mãn điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) lúc (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng tầm ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi điều tra khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) gắng thể, yêu cầu xét hàm số trên toàn tập xác minh của nó (chứ chưa hẳn chỉ xét trên khoảng tầm ((0; +∞)) như trên).