Hàm số liên tục còn được gọi là xét tính thường xuyên của hàm số, đấy là một một chủ để đặc biệt quan trọng thuộc toán lớp 11 bậc trung học tập phổ thông. Là kiến thức căn phiên bản để bạn học giỏi chủ đề hàm số. Bài viết này vẫn tóm lược những định hướng trọng tâm cần nhớ đôi khi phân dạng bài xích tập cụ thể giúp chúng ta rèn luyện kĩ năng giải bài bác tập hàm số liên tục.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục tại 1 điểm


1. định hướng hàm số liên tục

1.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số tiếp tục là gì?

Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng chừng (a; b). Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là tiếp tục tại điểm x0 ∈ (a; b) ví như $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) ko liên tục, thì được điện thoại tư vấn là đứt quãng tại x0 và điểm x0 được hotline là điểm cách trở của hàm số y = f(x).

Nhận xét. Hàm số được gọi là liên tiếp tại điểm x0 nếu ba đk sau được đồng thời thỏa mãn:


f(x) xác định tại x0.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ tồn tại.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = f(x0)

Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu tất cả ít nhất 1 trong 3 điều kiện trên không thỏa mãn. Nếu như sử dụng số lượng giới hạn một bên thì:

*

Đặc trưng không giống của tính thường xuyên tại một điểm

Cho hàm số y = (x) xác minh trên (a; b). đưa sử x0 và x (x ≠ x0) là hai phần tử của (a; b)

Hiệu x−x0, cam kết hiệu: ∆x, được điện thoại tư vấn là số gia của đối số tại điểm x0. Ta có: ∆x = x−x0 ⇔ x = x0+∆x.

Hiệu y − y0, ký hiệu: ∆y, được điện thoại tư vấn là số gia tương xứng của hàm số trên điểm x0. Ta có: ∆y = y − y0 = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).


Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta rất có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 như sau:

1.2 Hàm số tiếp tục trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được hotline là liên tục trong khoảng tầm (a; b) ví như nó liên tiếp tại từng điểm của khoảng đó.Hàm số y = f(x) được hotline là tiếp tục trên đoạn trường hợp nó:

*

1.3 những định lý về hàm số liên tục

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, yêu thương (với mẫu mã số không giống 0) của những hàm số liên tiếp tại một điểm là hàm số liên tiếp tại điểm đó. đưa sử y = f(x) với y = g(x) là nhì hàm số liên tiếp tại điểm x0. Lúc đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) cùng y = f(x).g(x) tiếp tục tại điểm x0Hàm số $y = fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ liên tiếp tại x0 nếu g(x0) = 0

Định lí 3. Những hàm nhiều thức, hàm số hữu tỉ, lượng chất giác là liên tục trên tập xác minh của nó.


*

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm

*

Dạng 2. Xét tính tiếp tục của hàm số trên một điểm

*

Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Để xét tính liên tiếp hoặc xác định giá trị của tham số nhằm hàm số liên tiếp trên khoảng tầm I, chúng ta thực hiện nay theo công việc sau:

cách 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên các khoảng đơn.Bước 2: Xét tính tiếp tục của hàm số tại các điểm giao.Bước 3: Kết luận

Dạng 4. áp dụng tính liên tục của hàm số để hội chứng minh

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng tỏ phương trình bao gồm k nghiệm trong , ta tiến hành theo các bước sau

*

Dạng 5. áp dụng tính tiếp tục của hàm số nhằm xét vết hàm số

Sử dụng kết quả : “Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục và không triệt tiêu trên đoạn thì bao gồm dấu nhất mực trên khoảng chừng (a; b)”

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính thường xuyên của hàm số sau trên điểm x0 = 1:

*

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm

Hàm số khẳng định với hầu hết x ∈ R

*

Bài tập 2. Mang lại hàm số

*

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại một điểm

*

Bài tập 3. Chứng minh hàm số $fleft( x ight) = sqrt 8 – 2x^2 $ liên tiếp trên đoạn < -2; 2>

Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính tiếp tục của hàm số trên một khoảng

Hàm số thường xuyên trên đoạn <−2; 2>

Với x0 ∈ (−2; 2), ta có: $mathop lim limits_x o x_0 sqrt 8 – 2x^2 = sqrt 8 – 2x_0^2 = fleft( x_0 ight)$

Vậy, hàm số thường xuyên trên khoảng (−2; 2).

Xem thêm: Quyết Định Của Hội Nghị Ianta Thỏa Thuận Về Việc Đóng Quân Tại Các Nước Nhằm

Ngoài ra, sử dụng số lượng giới hạn một bên ta chứng tỏ được:

Hàm số f(x) thường xuyên phải tại điểm x0 = −2.Hàm số f(x) tiếp tục trái tại điểm x0 = 2.Vậy, hàm số liên tiếp trên đoạn <−2; 2>.

Bài tập 4. Minh chứng rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. Thực hiện tính liên tục của hàm số để bệnh minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta gồm :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 Toán học giải đáp chúng ta rõ hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả,