Hàm Lagrange

Phương pháp nhân tử Lagrange (method of Lagrange multipliers) là một kỹ thuật rất kì hữu dụng để giải những bài toán tối ưu có ràng buộc. Vào chuỗi bài viết này buổi tối sẽ chia làm 2 phần: (1) ràng buộc là đẳng thức; (2) ràng buộc là bất đẳng thức. Nội dung bài viết đầu tiên này tôi sẽ triệu tập vào buổi tối ưu bao gồm ràng buộc là đẳng thức.

Bạn đang xem: Hàm lagrange

Mục lục1. Chuyên môn Lagrange2. Phân tích Lý thuyết1. Nghệ thuật Lagrange

1.1. Phân phát biểu bài xích toán

Tìm cực trị của hàm số đa đổi mới $color#0c7f99f(mathbfx)$ thoả mãn điều kiện hàm đa biến $color#bc2612g(mathbfx)=c$ cùng với $c$ là hằng số:$$eginaligned extmaximize (or minimize)&color#0c7f99f(mathbfx)cr extsubject to:~&color#bc2612g(mathbfx) = cendaligned$$

1.2. Ứng dụng nghệ thuật nhân tử Lagrange

Để giải quyết bài toàn này, ta áp dụng kỹ thuật Lagrange như sau:

Bước 1: Thêm một biến hóa nhân tử Lagrange $color#0d923flambda$ và quan niệm một hàm Lagrangian $mathcalL$ như sau:$$mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambdaig( extcolor#bc2612g(mathbfx)-cig)$$Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcalL$ bằng véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=mathbf0$$Bước 3: phụ thuộc vào các nghiệm $(mathbfx^* , extcolor#0d923flambda^* )$ kiếm được ở trên, chũm vào hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ rồi chọn giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất) là ta giá tốt trị phải tìm (thực ra chỉ cần nghiệm $mathbfx^* $ là đủ):$$egincases extcolorbluef_min &= displaystylemin_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )cr extcolorredf_max &= displaystylemax_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )endcases$$

Nếu bạn lưu ý một chút thì phương trình ở cách 2 tương đương với hệ phương trình sau:$$egincases abla extcolor#0c7f99f(mathbfx) &= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(mathbfx)crcolor#bc2612g(mathbfx) &= color#bc2612cendcases$$

Bởi:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=eginbmatrixdfracpartialmathcalLpartialmathbfxcrcrdfracpartialmathcalLpartialmathbf extcolor#0d923flambdaendbmatrix=eginbmatrix abla extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(mathbfx)crcolor#bc2612g(mathbfx)-cendbmatrix$$

Tức là ở đây, khi giải bởi tay chúng ta có thể làm ngơ hàm $mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)$ mà lại vẫn giải tốt. Mặc dù nhiên, việc trình diễn qua hàm Lagrangian này sẽ giúp đỡ ta dễ ợt sài luôn được các cách giải phổng thông khác và các chương trình máy tính xách tay có sẵn.

1.3. Lấy một ví dụ minh họa

Bài toán:Giả sử đơn vị máy của chúng ta sản suất đồ vật phụ tùng bởi thép. Chi phí nhân công mỗi giờ là $$20$ và giá 1 tấn thép là $$170$. Lợi nhuận $R$ được mô hình hoá như sau:

$$R(h,s)=200h^2/3s^1/3$$Trong đó:

$h$ là số giờ làm việc$s$ là số tấn thép

Hãy tính lợi nhuận mập nhất hoàn toàn có thể thu được nếu gớm phí của người sử dụng là $$20,000$.

Lời giải:Mỗi giờ thao tác làm việc tốn $$20$ cùng mỗi tấn thép tốn $$170$ đề nghị tổng chi phí tính theo $h$ với $s$ là:$$B(h,s)=20h+170s$$Do ngân sách đầu tư $B$ là $$20,000$ bắt buộc ta tất cả ràng buộc:$$color#bc261220h+170s=20,000$$

Để có cái nhìn cụ thể hơn về bài bác toán, ta thử trình diễn nó qua thứ thị như sau:

Đồ thị lợi nhuận với ràng buộc. Source: khanacademy

Nhìn vào đồ thị trên ta có thể thấy roi (đường màu sắc xanh) đạt lớn số 1 với đk ngân quỹ (đường màu đỏ) trên điểm giao phía bên trái của 2 đường.

Cái nhìn trực quan lại là thế, còn tiếng ta sẽ giải bằng cách thức nhân tử Lagrange để về tối ưu hoá hàm $color#0c7f99R(h,s)$ ràng buộc vày đẳng thức $color#bc2612B(h,s)=20,000$. Theo phân tích ở trên ta vẫn có:$$egincases abla extcolor#0c7f99R(h,s) &= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612B(h,s)crcolor#bc2612B(h,s) &= color#bc261220,000endcases$$

Phân tích ra ta được:$$egincasescolor#0c7f99200cdotdfrac23h^-1/3s^1/3 &= 20 extcolor#0d923flambdacrcrcolor#0c7f99200cdotdfrac13h^2/3s^-2/3 &= 170 extcolor#0d923flambdacrcrcolor#bc261220h+170s &= color#bc261220,000endcases$$

Giải ra ta gồm kết quả:$$egincases extcolor#0c7f99h &= dfrac2,0003 approx 667crcr extcolor#0c7f99s &= dfrac2,00051 approx 39crcrcolor#0d923flambda &= sqrt<3>dfrac8,000459 approx 2.593endcases$$

Thế vào cách làm tính lợi nhuận ta có:$$R(667, 39)=200(667)^2/3(39)^1/3 approx fcolorboxredaqua51,777$$

Như vậy, để đã đạt được lợi nhuận lớn số 1 ta nên 667 tiếng lao cồn với 39 tấn thép với lợi nhận có thể đạt được tối đa là $$51,777$.

2. So sánh Lý thuyết

2.1. Tầm nhìn hình học

Chiếu trang bị hình của $color#0c7f99f(mathbfx)$ với $color#bc2612g(mathbfx)=c$ qua dạng con đường đồng mức (Contour Line). Đầu tiên ta rất có thể thấy rằng cực hiếm cực trị của hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ bị ràng buộc bởi $color#bc2612g(mathbfx)=c$ chính là điểm xúc tiếp của đường đồng mức của chúng.

Đường đồng nấc của $f(x,y)$ là tập của tất cả các điểm $(x^* ,y^* )$ nhằm $f(x^* ,y^* )=k$ cùng với $k$ là hằng số.

Ví dụ, cùng với $color#0c7f99f(mathbfx)=2x+y$, $color#bc2612g(mathbfx)=x^2+y^2$ và $color#bc2612c=1$, ta đang có mô hình đồ thị như sau.

Đồ thị của f(x,y) cùng g(x,y). Source: khanacademy
Đường đồng nút của f(x,y) và g(x,y). Source: khanacademy

Nhìn vào biểu trang bị trên ta rất có thể thấy 2 điểm rất trị là vấn đề tiếp xúc của 2 mặt đường đồng mức của 2 hàm kim chỉ nam và ràng buộc. Tuy nhiên, chưa hẳn lúc nào $color#0c7f99f(mathbfx)$ cũng thẳng tưng cụ nhé, bởi nó còn nhờ vào vào dạng của hàm sẽ là gì. Lấy ví dụ $color#0c7f99f(mathbfx)=2x^2+sqrt5y$ thì con đường đồng mức sẽ là:
Đường đồng nấc của f(x,y) và g(x,y). Source: khanacademy

Nhưng dù thế nào đi nữa, trường hợp $k$ là điểm cực trị của hàm $color#0c7f99f$ thì đường đồng nút $color#0c7f99f(x,y)=k$ sẽ luôn tiếp xúc với con đường đồng mức của $color#bc2612g(mathbfx)=c$ trên điểm đó.

Mặt khác, gradient lại luôn luôn vuông góc với đường đồng mức trên điểm tương ứng.
Gradient vuông góc với con đường đồng mức. Source: khanacademy

Như vậy, nếu 2 đường đồng mức tiếp xúc nhau thì gradient tương xứng của chúng tại điểm xúc tiếp là song song cùng với nhau.

Nói phương pháp khác, mang sử điểm tiếp xúc đó là $(x_0,y_0)$ thì ta hoàn toàn có thể biểu diễn quan hệ tình dục gradient của bọn chúng như sau:$$ abla extcolor#0c7f99f(x_0,y_0)= extcolor#0d923flambda_0 abla extcolor#bc2612g(x_0,y_0)$$

Trong kia $ extcolor#0d923flambda$ là một trong những hằng số làm sao đó. Qua phép màn biểu diễn này ta hoàn toàn có thể quy được thành một hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình và hoàn toàn có thể giải được rất dễ dàng dàng:$$egincasescolor#bc2612g(x,y) = ccr abla extcolor#0c7f99f(x,y)= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(x,y)endcases$$

Nghiệm của hệ phương trình trên $(x_0,y_0, extcolor#0d923flambda_0)$ khi thay thế sửa chữa lại hàm $color#0c7f99f(x,y)$ sẽ mang lại ta được công dụng mong muốn.

Xem thêm: Dàn Ý Thuyết Minh Về Cây Tre, Chi Tiết, Dễ Hiểu, Dàn Ý Thuyết Minh Về Cây Tre Lớp 8 Ngắn Gọn Nhất

2.2. Tụ lại thành 1 hàm

Từ hệ phương trình trên, Lagrange tụ lại thành một phương trình Lagrangian duy nhất:$$mathcalL(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(x,y)- extcolor#0d923flambdaig( extcolor#bc2612g(x,y)-cig)$$

Để ý rằng, đạo hàm riêng rẽ theo $ extcolor#0d923flambda$ chủ yếu bằng điều kiện ràng buộc:$$mathcalL_ extcolor#0d923flambda(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#bc2612g(x,y)-c$$Đạo hàm theo $x,y$ là:$$egincasesmathcalL_x(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0d923flambda extcolor#bc2612g_x(x,y)crmathcalL_y(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0d923flambda extcolor#bc2612g_y(x,y)endcases$$Gom lại ta đã có:$$ abla extcolor#0c7f99f(x,y)= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(x,y)$$

Như vậy, vấn đề của ta đang được biến đổi thành dạng buổi tối ưu hàm $mathcalL$ không có điều kiện ràng buộc. Câu hỏi này tương đương với giải phương trình gradient của nó bằng véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL=mathbf0$$

2.3. Mở rộng

Từ phép màn trình diễn như trên ta trả toàn rất có thể tổng quát mang đến trường hợp có nhiều đẳng thức ràng buộc, lúc ấy hàm $mathcalL$ được khái niệm như sau:$$mathcalL(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(x,y)-sum_i=1^n extcolor#0d923flambda_iig( extcolor#bc2612g_i(x,y)-c_iig)$$

Trong đó, $color#bc2612g_i(x,y)=c_i$ là những đẳng thức ràng buộc, còn $color#0d923flambda_i$ là các hằng số thành phần khớp ứng với mỗi đẳng thức. Câu hỏi tối ưu hàm $color#0c7f99f(x,y)$ cũng trở nên được giải con gián tiếp qua gradient của $mathcalL$:$$ ablamathcalL=mathbf0$$

3. Kết luận

Kỹ thuật Lagrange được lấy cảm giác từ việc tiếp xúc của các đường đồng mức và gradient của chúng. Để buổi tối ưu 1 hàm với ràng buộc là các đẳng thức, ta rất có thể thực hiện theo kỹ thuật Lagrange như sau:

Bước 1: thêm một véc-to nhân tử Lagrange $color#0d923flambda$ và có mang một hàm Lagrangian $mathcalL$ như sau:$$mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambda^intercalig( extcolor#bc2612g(mathbfx)-cig)$$Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcalL$ bằng véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=mathbf0$$Bước 3: nhờ vào các nghiệm $(mathbfx^* , extcolor#0d923flambda^* )$ tìm được ở trên, vậy vào hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ rồi chọn giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất) là ta được giá trị bắt buộc tìm (thực ra chỉ việc nghiệm $mathbfx^* $ là đủ):$$egincases extcolorbluef_min &= displaystylemin_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )cr extcolorredf_max &= displaystylemax_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )endcases$$

Lưu ý rằng do có không ít đẳng thức ràng buộc bắt buộc $color#bc2612g(mathbfx)-c$ là một trong những véc-tơ có bậc là số đẳng thức và các nhân tử Lagrange khớp ứng cũng là 1 trong véc-to $color#0d923flambda$ tất cả bậc tương đương.