Nội dung kỹ năng về con đường tròn trong công tác toán 9 tương đối nhiều, đặc biệt quan trọng các dạng toán về mặt đường tròn có nhiều bài tập khá cạnh tranh làm cho nhiều người học sinh hồi hộp khi giải những bài tóa này.

Bạn đang xem: Đường tròn lớp 9


Vì vậy, bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại kiến thức và kỹ năng về đường tròn và các dạng bài xích tập toán về mặt đường tròn với hướng dẫn cách giải đưa ra tiết để qua đó giúp các em dễ nhớ các tính chất về cung, dây cung, góc nội tiếp con đường tròn, góc ở trọng điểm đường tròn, vị trí tương đối của con đường tròn,…

*
Lý thuyết mặt đường tròn và những dạng toán về con đường tròn

Bạn đang xem: các dạng bài bác tập toán về Đường tròn và phương pháp giải – toán lớp 9


A. Kim chỉ nan Đường tròn

I. Sự khẳng định của con đường tròn, tính chất đối xứng của con đường tròn

1. Đường tròn

– Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm giải pháp điểm O một khoảng cách bằng R.

2. Vị trí kha khá của một điểm cùng với một con đường tròn

– đến đường tròn trung ương (O;R) và điểm M.

M nằm trên phố tròn (O;R) ⇔ OM = RM nẳm trong mặt đường tròn (O;R) ⇔ OM M nẳm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OM > R

3. Cách khẳng định đường tròn

– Qua ba điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một và có một đường tròn.

4. Tính chất đối xứng của mặt đường tròn

– Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Trọng tâm của mặt đường tròn là tâm đối xứng của của mặt đường tròn đó.

– Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào thì cũng là trục đối xứng của mặt đường tròn.

II. Dây của con đường tròn

1. So sánh độ lâu năm của 2 lần bán kính và dây

– trong số dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính

2. Tình dục vuông góc giữa 2 lần bán kính và dây

– trong một đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với cùng 1 dây thì trải qua trung điểm của dây ấy.

– vào một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy.

3. Contact giữa dây và khoảng cách từ chổ chính giữa đến dây

+ trong một đường tròn:

2 dây đều nhau thì bí quyết đều tâm

2 dây cách đều chổ chính giữa thì bởi nhau

+ trong 2 dây của 1 đường tròn

Dây như thế nào lớn hơn nữa thì dây kia gần trọng tâm hơn

Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa trung tâm hơn

III. Vị trí tương đối của con đường thẳng với con đường tròn

1. Vị trí kha khá của mặt đường thẳng với đường tròn

– mang lại đường tròn chổ chính giữa (O;R) và con đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) khi đó:

Đường thẳng cắt đường tròn trên 2 điểm phân biệt ⇔ dĐường thẳng tiếp xúc với mặt đường tròn ở 1 điểm ⇔ d=RĐường thẳng và con đường tròn ko giao nhau ⇔ d>R

– Khi con đường thẳng và con đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được call là tiếp đường của mặt đường tròn. Điểm bình thường giữa mặt đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.

2. Vết hiệu phân biệt tiếp con đường của đường tròn

– nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

– Nếu 1 con đường thẳng đi qua 1 điểm của con đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua đặc điểm này thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến cùa đường tròn.

3. đặc thù của nhị tiếp tuyến giảm nhau

– Nếu hai tiếp tuyến cùa một đường tròn giảm nhau trên một điểm thì:

Điếm đó biện pháp đều nhì tiếp điểm.Tia kẻ từ đặc điểm này đi qua trọng tâm là tia phân giác của góc tạo vì chưng hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi vì hai nửa đường kính (đi qua những tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với cha cạnh cùa một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được call là nước ngoài tiếp đường tròn.Tâm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được điện thoại tư vấn là giao điểm cùa những đường phân giác những góc trong tam giác.

5. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với những phần kéo dãn của nhì cạnh tê được call là đường tròn bàng tiếp tam giác.Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.Tâm cùa mặt đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm cùa hai đường phân giác những góc xung quanh tại B và C, hoặc là giao điểm cùa mặt đường phân giác góc A và con đường phân giác kế bên tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

– Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình tất cả cà hai tuyến phố tròn đó.

– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điếm đồi xứng cùng nhau qua con đường nối tâm.

– Nếu hai mặt đường tròn xúc tiếp nhau thì tiếp điểm nằm trên tuyến đường nối tâm.

2. Vị trí tương đối của hai đường tròn.

+ đến 2 mặt đường tròn (O; R) và (O’; r) để OO’=d

– hai tuyến phố tròn giảm nhau trên 2 điểm ⇔ R-r R + r

O cất O’ ⇔ d 3. Tiếp tuyến bình thường của nhị đường tròn

– Tiếp tuyến phổ biến cùa hai tuyến đường tròn là mặt đường thẳng tiếp xúc đối với tất cả hai con đường tròn đó.

– Tiếp đường chung xung quanh là tiếp tuyến thông thường không giảm đoạn nối tâm.

– Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến bình thường cắt đoạn nối tâm.

V. Tương tác giữa cung và dây

1. Định lí 1

+ Với nhị cung nhỏ tuổi trong một mặt đường tròn tốt trong hai tuyến phố tròn bởi nhau:

– hai cung bằng nhau căng nhị dây bởi nhau.

– hai dây đều nhau căng hai cung bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với nhị cung bé dại trong một mặt đường tròn xuất xắc trong hai tuyến phố tròn bằng nhau:

– Cung to hơn căng dây bự hơn.

– Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Bổ sung

+ vào một mặt đường tròn, hai cung bị chắn giữa nhì dây song song thì bởi nhau.

+ vào một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm vị trí trung tâm của một cung thì trải qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ trong một con đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm ở chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+ vào một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm vị trí trung tâm của một cung thì vuông góc cùng với dây căng cung ấy và ngược lại.

VI. Góc nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc tất cả đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của con đường tròn ấy.

– Cung nằm phía bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

2. Định lí: trong một mặt đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ trong một con đường tròn:

– những góc nội tiếp đều nhau chắn những cung bằng nhau.

– những góc nội tiếp thuộc chắn một cung hoặc chắn những cung đều nhau thì bằng nhau.

– Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bởi nửa số đo của góc làm việc tâm cùng chắn một cung.

– Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.

VI. Góc tạo bởi vì tiếp tuyến đường và dây cung

1. Định lí: Số đo của góc tạo vị tiếp con đường và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả: Trong một con đường tròn, góc tạo bởi vì tia tiếp tuyến đường và dây cung cùng góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)

– nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh cất dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm phía bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp đường của mặt đường tròn.

VIII. Góc sinh hoạt đỉnh bên trong, và góc làm việc đỉnh bên ngoài đường tròn

Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở phía bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo hai cung bị chắn.

Định lí 2: Số đo của góc gồm đỉnh ở bên phía ngoài đường tròn bởi nửa hiệu so đo nhì cung bị chắn.

IX. Cung chứa góc

1. Quỹ tích cung cất góc

– với đoạn thẳng AB với góc ∝ (00 nhì cung cất góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng cùng nhau qua AB.Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M chú ý đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là mặt đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc ∝

Vẽ con đường trung trực d của đoạn chiến thắng AB.Vẽ tia Ax tạo thành với AB một góc ∝Vẽ mặt đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay cùng với d.Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA làm thế nào để cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không đựng tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một trong cung đựng góc ∝.

3. Bí quyết giải việc quỹ tích

– Muốn chứng tỏ quỹ tích (tập hợp) các điếm M thỏa mãn nhu cầu tính chất T là một hình H làm sao đó, ta phải chứng tỏ hai phần:

Phần thuận: mọi điếm có tính chất T đầy đủ thuộc hình H.Phần đảo: đa số điểm trực thuộc hình H đều phải có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích những điếm M có tính chất T là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa: Một tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm ở một đường tròn được điện thoại tư vấn là tứ giác nội tiếp con đường tròn.

2. Định lí

– vào một tứ giác nội tiêp, toàn bô đo 2 góc đối lập bằng 180o

– ví như một tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được con đường tròn.

3. Một trong những dấu hiệu phân biệt tứ giác nội tiếp

– Tứ giác tất cả bốn đỉnh nằm tại một con đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tứ giác tất cả tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được mặt đường tròn.

– Tứ giác ABCD bao gồm 2 đỉnh C cùng D sao cho 

*
 thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn nước ngoài tiếp

1. Định nghĩa

Đường tròn đi qua toàn bộ các đỉnh của một đa giác được call là đường tròn nước ngoài tiếp đa giác và đa giác được điện thoại tư vấn là nhiều giác nội tiếp mặt đường tròn.Đường tròn xúc tiếp với vớ cả các cạnh của một đa giác được điện thoại tư vấn là đường tròn nội tiếp nhiều giác cùng đa giác được gọi là đa giác nước ngoài tiếp đường tròn.

2. Định lí

– bất kể đa giác phần đông nào cũng có một và chỉ một đường tròn nước ngoài tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

– trung khu của hai tuyến phố tròn này trùng nhau và được điện thoại tư vấn là tâm của nhiều giác đều.

– trung tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai tuyến phố phân giác của nhì góc.

* Chú ý:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhiều giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.Bán kính con đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O mang lại 1 cạnh.Cho n_ giác (đa giác bao gồm n cạnh) phần lớn cạnh a. Khi đó:Chu vi của nhiều giác: 2p = na (p là nửa chu vi)Mỗi góc sống đỉnh của nhiều giác có số đo bằng: 180o(n-2)/nMỗi góc ở trọng điểm của đa giác có số đo bằng: 360o/nBán kính con đường tròn ngoại tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)Bán kính mặt đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)Liên hệ giữa bán kính đường tròn nước ngoài tiếp và nội tiếp: R2 – r2 = a2/4Diện tích nhiều giác đều: S = (1/2)nar

XII. Độ dài mặt đường tròn, cung tròn

1. Bí quyết tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

– Độ dài C của một con đường tròn nửa đường kính R được xem theo công thức

*
 hoặc 
*
 (d=2R)

2. Công thức tính độ lâu năm cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung no được xem theo công thức: 

XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn

– diện tích S của một hình trụ bán kính R được xem theo công thức: 

*

2. Phương pháp tính diện tích s hình quạt tròn

– diện tích s hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được xem theo công thức

 hay 

*
 (l là độ nhiều năm cung no của hình quạt tròn)

B. Những dạng bài tập về mặt đường tròn

Dạng 1: chứng minh nhiều điểm thuộc thuộc 1 con đường tròn

* Phương pháp: minh chứng các điểm sẽ cho biện pháp đều một điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC có bố góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao thứu tự là AD, BE, CF. Chứng tỏ rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một con đường tròn.

* Lời giải:

– Theo trả thiết:

 BE là con đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒

*
 = 900.

 CF là con đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒

*
 = 900.

⇒ E với F cùng nhìn BC dưới một góc 900

⇒ E cùng F thuộc nằm trê tuyến phố tròn 2 lần bán kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F thuộc nằm bên trên một con đường tròn.

• Dạng 2: Xác định trọng tâm và nửa đường kính của mặt đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp:

– Tam giác thường: Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 mặt đường trung trực là tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Tam giác vuông: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

– Tam giác cân: vai trung phong của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên tuyến đường cao hạ từ bỏ đỉnh xuống lòng tam giác.

– Tam giác đều: trọng tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác trùng cùng với trọng tâm, trực trung khu và vai trung phong đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 1: Tính nửa đường kính của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

– Theo định lý pitago ta tính chiều lâu năm cạnh huyền, ta có:

*

– vì tam giác vuông cân, bắt buộc tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền với chiều dài nửa đường kính là:

Ví dụ 2: Xác định trọng điểm và nửa đường kính của con đường tròn trọng điểm (O) ngoại tiếp tam giác hầu hết ABC có cạnh bằng a.

* Lời giải:

– trung ương đường tròn nước ngoài tiếp tam giác hầu như ABC là trực chổ chính giữa của tam giác ABC.

– tự A hạ mặt đường cao AH xuống BC, ta có:

– phương pháp suy ra trường đoản cú pitago:

*

⇒ trọng tâm đường tròng là trực chổ chính giữa của tam giác và có chào bán kính: 

Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm nhị đường chéo cánh ; M,N,R,S là hình chiếu của O theo thứ tự trên AB , BC, CD và DA . Minh chứng 4 điểm M,N,R,S trực thuộc một đường tròn .

* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO

(vì cạnh huyền cân nhau ,góc nhọn bởi nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S ∈ O

Bài tập 2: Cho Δ ABC cân tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH giảm Đường tròn sống D .

1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 centimet ; AC = đôi mươi cm ;Tính chiều cao AH và nửa đường kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì trọng điểm O là giao điểm của 3 mặt đường trung trực của Δ ABC

Mà Δ ABC cân nặng ở A đề xuất đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua trung tâm ⇒ AD là con đường kính

2) Nối DC; OC

Ta tất cả CO là trung tuyến cơ mà CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông nghỉ ngơi C đề xuất = 900

3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC bao gồm :

*

Xét Δ vuông ACD bao gồm : AC2 = AH .AD

⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 centimet ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3: Cho mặt đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc mặt đường tròn, vẽ điểm N đối xứng cùng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, gọi E là giao điểm của AC với BM.

1) hội chứng minh:NE ⊥ AB

2) call F là vấn đề đối xứng với E qua M. Chứng tỏ FA là tiếp tuyến đường của mặt đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . đưa sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, đem điểm C trên đường tròn làm thế nào cho AC = R.

1) Tính BC theo R và những góc của tam giác ABC.

2) call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Minh chứng tứ giác ACOD là hình thoi.

Xem thêm: What Is Igmp Snooping ?

3) Tiếp tuyến đường tại C của đường tròn cắt đường trực tiếp AB trên E. Minh chứng ED là tiếp tuyến đường của đường tròn (O)

4) hai đường thẳng EC và do cắt nhau tại F. Chứng minh C là trung điểm của EF

Bài tập 5: Cho hai tuyến phố tròn (O; R) với (O; R’) tiếp xúc không tính tại A. Kẻ tiếp đường chung quanh đó BC. Cùng với B ∈ (O) cùng C (O’)

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ 2 lần bán kính BOD. Minh chứng 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến đường của mặt đường tròn có 2 lần bán kính BC, và tính BC?

Bài tập 6: Cho đường tròn trung tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C làm thế nào cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC2=DE.DB

4) AF.CH=AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng

Hy vọng cùng với phần ôn tập cụ thể và không thiếu thốn về triết lý đường tròn và bài bác tập áp dụng ngơi nghỉ trên để giúp đỡ các em nắm vững kiến thức hơn về phần này. Hầu hết thắc mắc các em hãy nhằm lại phản hồi dưới bài bác viết, chúc các em học tập xuất sắc và đạt tác dụng cao.