Nội dung bài xích học sẽ giúp các em cố gắng đượckhái niệm, cách khẳng định gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng, các tính chất, định lý liên quan đến đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng, mối liên hệ giữa quan hệ tuy vậy song và quan hệ tình dục vuông góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng. Dường như là những ví dụ minh họa để giúp đỡ các em có mặt các kĩ năng giải bài bác tập liên quan đến xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng,chứng minh đường thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng,...
Bạn đang xem: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
1.2. Định lý
1.3. Các tính chất
1.4. Liên hệ giữa quan lại hệ tuy nhiên song và quan hệ vuông góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng
1.5. Định lý ba đường vuông góc
1.6. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
2. Bài bác tập minh hoạ
3.Luyện tập bài bác 3 chương 3 hình học tập 11
3.1 Trắc nghiệm vềĐường trực tiếp vuông góc với khía cạnh phẳng
3.2 bài tập SGK và nâng cấp vềĐường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng
4.Hỏi đáp vềbài 3 chương 3 hình học 11
Đường trực tiếp a được gọi là vuông góc với phương diện phẳng (P)nếu a vuông góc với tất cả đường trực tiếp a phía bên trong mặt phẳng (P).
Kí hiệu:(a ot left ( phường ight ))
Định nghĩa đường thẳng vuông góc phương diện phẳng
(a ot mp(P) Leftrightarrow a ot c,forall c subset (P))
Nếu con đường thẳng d vuông góc với hai tuyến phố thẳng giảm nhau a cùng b của khía cạnh phẳng (P)thì(d ot left ( p. ight ).)
Hệ quả: nếu một con đường thẳng vuông góc với nhị cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ bố của tam giác đó.
Tính hóa học 1: Có một và chỉ một đường phương diện phẳng đi sang một điểm mang đến trước cùng vuông góc cùng với một con đường thẳng cho trước.
Tính chất 2: tất cả duy nhất một đường thẳng đi sang 1 điểm mang đến trước với vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng cho trước.
a) đặc thù 1Cho hai đường thẳng tuy vậy song. Phương diện phẳng làm sao vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
(left. eginarrayl a//b\ left( alpha ight) ot a endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot b)
Hai mặt đường thẳng phân biệt cùng vuông góc cùng với một mặt phẳng thì song song cùng với nhau.(left. eginarrayl a ot (alpha )\ b ot (alpha )\ a e b endarray ight} Rightarrow a//b)
(left. eginarrayl a ot (alpha )\ left( alpha ight)//left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot left( eta ight))
Hai khía cạnh phẳng rõ ràng cùng vuông góc cùng với một mặt đường thẳng thì tuy vậy song cùng với nhau.(left. eginarrayl a ot (alpha )\ a ot left( eta ight)\ left( alpha ight) e left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight)//left( eta ight))
(left. eginarrayl a//(alpha )\ b ot left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow b ot a)
Nếu một con đường thẳng và một mặt phẳng thuộc vuông góc cùng với một đường thẳng khác thì chúng tuy nhiên song với nhau.(left. eginarrayl a ot b\ b ot left( alpha ight)\ a otsubset left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow a//left( alpha ight))
1.5. Định lý bố đường vuông góc
Cho con đường thẳng d phía trong mặt phẳng(left ( alpha ight ))và b là đường thẳng không thuộc(left ( alpha ight ))đồng thời không vuông góc với(left ( alpha ight )). Gọi b" là hình chiếu vuông góc của b trên(left ( alpha ight )). Kho kia a vuông góc với b khi và chỉ còn khi a vuông góc với b".
1.6. Góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng
Góc giữa mặt đường thẳng d không vuông góc với khía cạnh phẳng (left ( alpha ight ))là góc giữa d với hình chiếu d’ của chính nó trên khía cạnh phẳng (left ( alpha ight )).
Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông trên C,(SA ot (ABC).)
a) chứng tỏ rằng:(BC ot (SAC)).
b) điện thoại tư vấn E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng:(AE ot (SBC).)
c) gọi (P) là phương diện phẳng qua AE với vuông góc với SB, (P) giao với SB tại D.Đường thẳng DE giảm BC tại F. Chứng minh rằng:(AF ot (SAB).)
Lời giải:
a) Ta có:(BC ot AC m (gt) m (1))
Mặt khác:(left. eginarrayl SA ot (ABC)\ BC subset (ABC) endarray ight} Rightarrow SA ot BC,,(2))
Từ (1) với (2) suy ra:(BC ot (SAB).)
b) Ta có:(AE ot SC m (3) (gt))
Theo câu a ta có:(BC ot (SAB) Rightarrow AE ot BC m (4))
Từ (3) (4) suy ra:(AE ot (SBC).)
c) Ta xuất hiện phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).
Từ(left. eginarrayl SA ot (ABC)\ AF subset (ABC) endarray ight} Rightarrow AF ot SA m (5))
Do(SB ot (ADE) Rightarrow AF ot SB m (6)).
Từ (5) (6) suy ra:(AF ot (SAB).)
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông trên A cùng B, (SA ot (ABCD)), AD=2a, AB=BC=a. Chứng tỏ rằng: Tam giác SCD vuông.
Lời giải:
Ta có:(left. eginarrayl SA ot (ABCD)\ CD subset (ABCD) endarray ight} Rightarrow SA ot CD(1))
Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.
Do đó,(widehat ACI = 45^0.)(*)
Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên(widehat BCI = 45^0.)(**)
Từ (*) (**) suy ra:(widehat ACD = 90^0)hay(AC ot CD (2)).
Từ (1) với (2) suy ra:(CD ot (SAC) Rightarrow CD ot SC).
Hay tam giác SCD vuông tại C.
Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, (SA = asqrt 6). Tính sin của góc giữa:
a) SC với (SAB).
b) AC cùng (SBC).
Lời giải:
a) Ta có:(BC ot AB m (gt)).
(SA ot BC)(Vì(SA ot (ABCD)))
Suy ra:(BC ot (SAB).)
Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).
(Rightarrow (SC,(SAB)) = widehat BSC.)
Ta có:(sin (SC,(SAB)) = sin widehat BSC = fracBCSC = fracasqrt SA^2 + AC^2 = fracsqrt 2 4).
Xem thêm: Clip Cô Gái Lộ Ngực Khi Livestream Quảng Cáo Cho Spa Ở Hà Nội Gây Xôn Xao Mxh
b) Trong khía cạnh phẳng (SAB) kẻ:(AH ot SB m (H in mSB).)
Theo câu a ta có:(BC ot (SAB) Rightarrow AH ot BC)nên(AH ot (SBC))hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).
(Rightarrow (AC,(SBC)) = widehat ACH.)
Xét tam giác vuông SAB có:(frac1AH^2 = frac1AB^2 + frac1SA^2 = frac76a^2 Rightarrow AH = a.sqrt frac67 .)
Vậy: (sin (AC,(SBC)) = sin widehat ACH = fracAHAC = fracsqrt 21 7.)