Chuyên đề Hệ thức lượng vào tam giác vuông

Với chuyên đề Hệ thức lượng vào tam giác vuông Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài xích tập, bài tập trắc nghiệm tất cả lời giải chi tiết với đầy đủ phương thức giải, lấy một ví dụ minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ thức lượng vào tam giác vuông từ kia đạt điểm trên cao trong bài xích thi môn Toán lớp 9.

Bạn đang xem: Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

*

Một số hệ thức về cạnh và con đường cao vào tam giác vuông

A. Phương pháp giải

*

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, mặt đường cao AH. Lúc đó ta có:

1, c2 = ac", b2 = ab"

2, a2 = b2 + c2

3, ah = bc

4, h2 = b".c"

5, 1/h2 = 1/b2 + 1/c2

B. Bài tập từ luận

Bài 1: Tính x, y trong các trường thích hợp sau

*
*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 tốt y = √48

Bài 2: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: đến tam giác ABC bao gồm AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính hóa học tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ da + 25/7 da = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ da = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: mang đến tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC giảm AC, BC theo sản phẩm tự D cùng E. Tính DE.

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ngân hàng á châu và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác acb ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1: mang lại tam giác ABC vuông tại A bao gồm đường cao AH bắt nguồn từ A với AB=3; AC=4. Tính độ nhiều năm đoạn AH

A. 2,5 cmB. 3cmC. 2,4cmD. 2cm

Câu 2: đến tam giác ABC vuông tại A, bao gồm AB=9cm, AC=12cm. Độ dài đường cao AH là:

A. 7,2 cmB. 5cmC.6,4 cmD. 5,4cm

Câu 3: mang đến tam giac ABC vuông tại A gồm AB=2cm, AC=4cm. Độ dài mặt đường cao AH là:

*

Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, bao gồm AB=2cm, AC=3cm. Khi đó độ dài con đường cao AH bằng:

*

Câu 5: mang đến tam giác ABC bao gồm AH là mặt đường cao bắt đầu từ A, hệ thức nào dưới đây chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A

A.BC2 = AB2 + AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C gần như đúng.

Câu 6: đến tam giác ABC bao gồm đường cao bắt đầu từ A. Nếu ∠BAC = 90o thì hệ thức nào tiếp sau đây đúng?

A.BC2 = AB2+AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C phần đông đúng.

Câu 7: mang lại tam giác ABC tất cả và AH là đường cao xuất phát từ A. Câu làm sao sau đây là đúng?

*

Câu 8: Tam giác ABC vuông tất cả đường cao AH( H ở trong cạnh BC). Hình chiếu của H trên AB là D, bên trên AC là E. Câu nào tiếp sau đây sai:

*

Câu 9: cho tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn 2 lần bán kính BC=10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài mặt đường cao AH là:

*

Hướng dẫn giải và đáp án

Câu 1: Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2=AB2+AC2

Thay số ta tính được BC=5.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: AH.BC = AB.AC

*

Vậy lựa chọn đáp án:C

Câu 2: lựa chọn đáp án: A

Câu 3: chọn đáp án: C

Câu 4: lựa chọn đáp án: A

Câu 5: chọn đáp án: D

Câu 6: lựa chọn đáp án: D

Câu 7: lựa chọn đáp án: C bởi vì ∠B + ∠C = 90o suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Câu 8: lựa chọn đáp án: D vì:

+ Đáp án A đúng do AEHD là hình chữ nhật(vì tất cả 3 góc vuông) nên 2 đường chéo AH cùng DE bằng nhau.

+ Xét tam giác ABC bao gồm :

*

Vì AH = DE yêu cầu đáp án B đúng

Từ đó suy ra chọn lời giải D

Câu 9: vì chưng tam giác ABC nội tiếp con đường tròn 2 lần bán kính BC = 10cm phải tam giác ABC vuông trên A. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC2 = BC2 - AB2.

Thay số vào ta tính được: AC= √75cm = 5√3 cm.

Áp dụng hệ thức lượng vào t tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC.

Thay số vào ta tính được: AH = 5√3/2 cm

Vậy lựa chọn đáp án: D

Câu 10: đến tam giác ABC vuông tại A, biết AB:AC=3:4, BC=15cm. Độ dài cạnh AB là:A. 9cmB. 10cmC. 6cmD. 3cm

Câu 11: Hình thang ABCD vuông góc sinh sống A, D. Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC biết AD=12cm, BC=20cm. Độ lâu năm cạnh AB là:

A.256/13cmB.9cm xuất xắc 16cm

C.16cmD.Một hiệu quả khác

Câu 12: mang lại tam giác DEF vuông tại D, gồm DE=3cm, DF=4cm. Lúc đó độ nhiều năm cạnh huyền bằng:A.5cmB. 7cmC.6cmD.10cm

Câu 13: mang đến tam giác ABC vuông trên A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=13cm. Lúc ấy độ lâu năm đoạn bh bằng:

*

Câu 14: Tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. Khi ấy độ dài đoạn bảo hành bằng:

*

Hướng dẫn giải và đáp án

Câu 10: điện thoại tư vấn độ lâu năm cạnh AB = 3x thì độ lâu năm cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:

⇔ 100 = 9x2 + 162

⇔ x2 = 100 : 25

⇔ x = 2

Từ đó suy ra AB = 6cm

Câu 11: Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật bắt buộc AD = BI; AB = DI = 12cm.

Xét tam giác vuông BIC có: IC2=BC2-BI2

Suy ra IC = 16cm.

Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI2 = DI.IC

Thay số:162 = DI . 13.Tứ đó suy ra DI = 256/13 cm.

Vậy chọn đáp án A

Câu 12: lựa chọn đáp án: A

Câu 13: Áp dụng hệ thức lượng: AB2 = BH.BC

Thay số ta được: 52=BH.13.Suy ra bảo hành = 25/13

Vậy chọn đáp án: A

Câu 14: chọn đáp án: D

Tỉ con số giác của góc nhọn

A. Phương thức giải

1. Định nghĩa những tỉ con số giác của góc nhọn:

1, sin α = AB/AC

2, cos α = BC/AC

3, tung α = AB/BC

4, cotgα = BC/AB

2. Một vài tính chất của những tỉ con số giác

+ cho hai góc α và β phụ nhau. Lúc đó:

sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cotg β

cotg α = chảy β

+ mang đến góc nhọn α. Ta có:

0 2B ; CH = a sin2 B

b, Suy ra AB2 = BC.BH ; AH2 = BH.HC

Hướng dẫn giải

a, chứng minh:

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

AH = sinB.AB (1)

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

AB = BC.cos B = acos B (2)

Từ (1) với (2) ta có:

AH = a sin B cos B

Tương trường đoản cú ta có:

+ Xét tam giác vuông ABH: bảo hành = AB.cos B

Xét tam giác vuông ABC: AB = BC.cos B = acos B => bh = a cos2B

+ Xét tam giác vuông ACH: CH = AC.cos C = AC.sin B

Tam giác vuông ABC: AC=BC.sin B=a.sin B => CH = a sin2 B

b, AB2 = a2 cos2B

BC.BH = a.a.cos2B = a2cos2B

=> AB2 = BC.BH

AH2 = a2sin2cos2B

=> AH2 = BH.HC

Bài 2: Giải tam giác trong số trường vừa lòng sau( có tác dụng tròn mang lại chữ số thập phân máy nhất).(Tức là tìm tất cả các yếu hèn tố không biết của tam giác ABC)

a, Tam giác ABC vuông trên A, biết AB = 3,5; AC = 4,2.

b, Tam giác ABC vuông trên A, biết ∠B = 50o ; AB = 3,7.

Xem thêm: Top 10 Cách Học Bài Mau Thuộc Mon Lich Su, 3 Cách Học Thuộc Bài Nhanh Nhất Môn Lịch Sử

Hướng dẫn giải

*
*

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết ∠B = 65o; ∠C = 40o và BC = 4,2 cm.

Hướng dẫn giải

*

Ta có: ∠A = 180o - (65o + 45o) = 75o

Vẽ bảo hành ⊥ AC

+ Xét tam giác vuông HBC vuông trên H, theo hệ thức về cạnh cùng góc vào tam giác vuông, ta có:

BH = BC.sin C = 2,7 (cm)

Và CH = BH.cotg C (1)

+ Xét tam giác vuông ABH tại H, theo hệ thức về cạnh cùng góc vào tam giác vuông ta có: