Tứ giác nội tiếp vào một mặt đường tròn là tứ giác tất cả bốn đỉnh nằm trên tuyến đường tròn.

Bạn đang xem: Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Dấu hiệu nhận thấy tứ giác nội tiếp được trong một mặt đường tròn:1. Nếu như một tứ giác tất cả tổng số đo nhị góc đối bởi thì tứ giác đó nội tiếp được trong một mặt đường tròn.2. Tứ giác bao gồm góc bên cạnh tại một đỉnh bởi góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một mặt đường tròn.3. Tứ giác gồm 4 đỉnh giải pháp đều một điểm ( mà ta rất có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.4. Tứ giác bao gồm hai đỉnh kề nhau cùng chú ý cạnh cất hai đỉnh còn lại dưới một góc (an-pha) thì nội tiếp được trong một con đường tròn.

II. Một số bài toán luyện tập:

1. Dạng vận dụng dấu hiệu 1 và 4Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( ABa. Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong con đường tròn vai trung phong K. Xác định tâm K của mặt đường tròn này.b. Chứng minh hai đường tròn ( I ) cùng ( K ) xúc tiếp nhau.

*

Gợi ý:a. Dựa vào tín hiệu 1 để chứng tỏ APIH nội tiếp được vào một con đường tròn:- khẳng định tâm K con đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác APIH: Điểm phường nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên p. Thuộc mặt đường tròn 2 lần bán kính AI. Chứng minh tương tự so với điểm H. Trường đoản cú đó xác định được trung ương K ( là trung điểm đoạn AI ).( HS cần nắm lại tóm lại sau: Quỹ tích những điểm quan sát đoạn trực tiếp AB dưới một góc vuông là mặt đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)

b. Nhắc lại kiến thức và kỹ năng về hai tuyến đường tròn xúc tiếp nhau:

- hai tuyến đường tròn cùng đi qua chỉ có một điểm tốt nhất thì bọn chúng tiếp xúc với nhau; hoặc TX trong, hoặc TX ngoài.- Tiếp xúc ko kể nếu khoảng cách hai tâm bởi tổng hai phân phối kính. OO’ = R + r- tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bởi hiệu hai chào bán kính. OO’ = R – r> 0 - Tính IK để kết luận 2 mặt đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong trên A.

Bài 2:

Cho đường tròn trọng tâm O, đường kính AB cố kỉnh định. Điểm I nằm giữa A cùng O làm thế nào để cho AI = IO.

Kẻ dây MN vuông góc AB trên I. điện thoại tư vấn C là 1 trong điểm tùy ý ở trong cung béo MN làm thế nào để cho C không trùng với M, N với B. Nối AC, cắt MN tại E.a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác minh tâm mặt đường tròn này.b. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 

*

 Gợi ý: a. Chứng minh tựa như câu a ở bài bác 1 trên. (Góc acb chắn đườngkính AB; mi vuông góc AB)

trọng tâm đường vào nội tiép IECB nằm tại vị trí trung điểm EB

Câu b. Hai TG đó tất cả chung góc A, góc AME với ACM chắn 2 cung AM = cung ANBài 3:

Cho tam giác ABC cân nặng tại A ( ). Đường vuông góc với AB tại A giảm đường thẳng BC trên E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai tuyến đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.a. Chứng minh những tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong con đường tròn. Khẳng định tâm những đường tròn này.b. Chứng minh EB là phân giác của góc AEF. 

*

 Gợi ý:a. Dựa vào tín hiệu 1 để ch.minh MCNF và phụ thuộc dấu hiệu 4 để minh chứng AMNE là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông

- Góc M với góc N thuộc chắn AB

=> Trung điểmAB là trung tâm ĐT ngoại tiếp

b. Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME đều bằng nhau do EM chung, chứng tỏ thêm AM = MF

 

Bài 4:Cho con đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy giải pháp tâm O một khoảng OK= a ( 0 R ), vẽ nhì tiếp đường AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là những tiếp điểm; O và B nằm cùng phía cùng với xy)

a. Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại nhì điểm D và E.b. Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm bên trên một con đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.c. BC giảm OA và OK theo máy tự trên M với S. Chứng tỏ tứ giác AMKS nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

*

Gợi ý:

* Câu a: Hiển nhiên bởi vì OK  

Bài 5:Từ một điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ những tiếp tuyến đường AB, AC với con đường tròn ( B, C là những tiếp điểm). Bên trên tia đối của tia BC, mang điểm D. Hotline E là giao điểm của bởi vì và AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ nhì với đường tròn (O), tất cả tiếp điểm là M; tiếp tuyến đường này cắt đường thẳng AB ở K. a. Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một mặt đường tròn.b. Chứng minh D, B, O, M, K thuộc thuộc một mặt đường tròn.

*

 

Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình đúng * Câu a

- so sánh góc MOE cùng góc MBC.- đối chiếu góc MOD với góc MBD- hai điểm O với B cùng quan sát đoạn thẳng DM bên dưới một góc bằng nhau.=> tứ giác DBOM ?* Câu b 

Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một mặt đường tròn ( dấu hiệu 1) vì 2 bán kính OM vuông góc MKvà OB vuông góc BK => tóm lại 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một con đường tròn.

Bài tập áp dụng dấu hiệu 2

(Tứ giác có góc kế bên tại một đỉnh bởi góc trong tại đỉnh đối của đỉnh kia thì nội tiếp được vào một mặt đường tròn.)

Bài 6:Cho tam giác ABC cân tại A cùng nội tiếp trong con đường tròn trung tâm O; đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB ;K là trung điểm của OI; H là trung điểm của EB.a.Chứng minh HK EBb. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được vào một con đường tròn.

*

 Gợi ý:Câu a

- góc B chắn 2 lần bán kính AI => góc B vuông- OE vuông AB => HK là mặt đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK vuông EB

Câu b

- chứng tỏ ∆EKB cân nặng tại K => BEK = EBK (1)- minh chứng góc EBK = góc KCA vì chưng ∆KCB cân nặng (2) - tự (1) cùng (2) => góc BEK là góc không tính tại đỉnh E của tứ giác AEKC bởi góc ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E). => AEKC nội tiếp được trong đường tròn.

Bài 7:Cho nửa mặt đường tròn trọng tâm I, 2 lần bán kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx cùng lấy điểm P tại chính giữa nửa đường tròn. Bên trên cung PN, mang điểm Q ( ko trùng cùng với P, N ). Các tia MP và MQ giảm tiếp con đường NX theo thứ tự tại S với T.a. Chứng minh NS = MN.b. Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.c. Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một mặt đường tròn.

*

 Gợi ý:a. Điểm phường nằm chính giữa nửa đường tròn

=> góc MPN vuông => ÐPMN = 450 => PNS = 450

=> ∆MNS là tam giác vuông cân

=> MN = N S (điều buộc phải chứng minh). 

b. Vì NQT vuông cần 2 tam giác MNT cùng NTQ là 2 tam giác vuông đồng dạng ( góc - góc)

c. Kẻ tiếp đường PH , => PH vuông NS ta có những tam giác vuông cân nặng và những góc bằng nhau = 45o như hình vẽ

Chứng minh được T1 = S + mét vuông = S + P2 + P2 ( phụ thuộc dấu hiệu 2) => ĐPCM

Bài 8:Cho tam giác ABC vuông trên A. Nửa con đường tròn đường kính AB cắt BC trên D. Trên cung AD rước một điểm E. Nối BE và kéo dãn dài cắt AC tại F.Chứng minh CDEF là 1 tứ giác nội tiếp.

*

Gợi ý:* phương pháp 1: minh chứng tương tự bài bác 7 Phần b.

* biện pháp 2: Để dễ dàng theo dõi ta đánh số những góc 1,2,3 và bôi màu những góc đều nhau như hình mặt à

 góc A1 = góc B1 (góc của 2 ∆ vuông đồng dạng);

góc A2 = góc B2 (vì cùng chắn cung ED);

 gócB1 = gócD1 ( cùng ngán cung AE)

=> gócB1 = góc A1 = góc D1;

 gócF2 với gócB1 phụ nhau => F2 với D1 phụ nhau;

 mà góc D2 với góc D1 cũng phụ nhau => cho nên vì vậy F2 = D2 => F1 + D2 = 2v (ĐPCM)

3.Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:

Bài 9:Cho con đường tròn chổ chính giữa O. Kẻ đường kính AB với CD vuông góc cùng với nhau. Hotline E là điểm tại chính giữa cung bé dại CB. EA giảm CD tại F; ED cắt AB trên M.a. Các tam giác CEF với EMB là phần đa tam giác gì?b. Chứng minh tư điểm D, C, M, B thuộc mặt đường tròn trọng tâm E.

Xem thêm: Tổng Hợp Các Lỗi Thường Gặp Trong Excel Bạn Nên Biết !, Các Lỗi Thường Gặp Trong Excel

*

Gợi ý:Câu a: Góc CEF là góc tất cả đỉnh nằm bên phía trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Lập các biểu thức về số đo các góc đó, đối chiếu để thấy 2 góc đó bằng nhau. Tóm lại tam giác CEF là tam giác Cân.- chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.* Câu b: trường đoản cú câu bên trên suy ra EC = EB = EF = EM.