Bất đẳng thức Cô-si: lý thuyết cần ghi ghi nhớ và các dạng bài bác tập thường xuyên gặp

Bất đẳng thức Cô-si xuất xắc bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ ra mắt về một số trong những kiến thức yêu cầu nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một vài dạng bài xích tập thường gặp. Bạn mày mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi lưu giữ và những dạng bài xích tập hay gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Bao gồm nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng lại hay độc nhất vô nhị là cách minh chứng quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cauchy


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cùng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, với trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si mê với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

2. Những dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 và ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 & > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 và > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 và > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều phải chứng minh.

d. Trường hòa hợp n = 2k

Xem xét những trường hợp n= 2 k, với k là một trong những nguyên dương. Cửa hàng chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường vừa lòng cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức sẽ được chứng minh ở trên.

Khi, gồm một giá bán trị k> 1 bất kỳ, mang sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được tiến hành như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều phải chứng minh).

e. Trường thích hợp n k

Nếu n không phải là một trong hàm mũ thoải mái và tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc hẳn rằng là nhỏ hơn một số nào kia theo hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị ngăn trên. Bởi đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ thoải mái và tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Xem thêm: New Navillera Là Gì - Navillera Là Gì (2021) ✔️ Cẩm Nang Tiếng Anh ✔️

Vì vậy, ví như ta có n số, thì ta hoàn toàn có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> & = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n & > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều buộc phải chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài xích tập gồm lời giải:

Bài 1: Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0 với ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 vừa lòng điều kiện 

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c ko âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bởi khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô mê mẩn cho tía số a, b, c ko âm có:

*

Tương trường đoản cú ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá bán trị bé dại nhất của những biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: vươn lên là đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: thay đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến chuyển đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực không âm, bệnh minh:

*

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô đam mê cho bố số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)