Tích phân là kiến thức quan trọng, nhằm học xuất sắc thì học viên cần nhớ toàn thể công thức tích phân. Bài viết này đã giới thiệu toàn bộ công thức và khối hệ thống các dạng tích phân thường gặp trong đề thi. Chỉ cần nhớ và vận dụng thành thạo là bạn đã chiếm lĩnh điểm tối đa.

Bạn đang xem: Bảng công thức tích phân


Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp chuyển đổi từ bí quyết tính tích phân2. Một vài dạng toán thường gặpPhương pháp tính tích phân từng phần

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số (fleft( x ight)) thường xuyên trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là một trong những nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) bên trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được call là tích phân của (f) từ bỏ (a) cho (b). Kí hiệu:

$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$

Tính chất tích phân

Giả sử những hàm số (f,g) liên tục trên (left< a;b ight>,c) là vấn đề bất kì nằm trong (left< a;b ight>). Khi ấy ta có:

(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân những hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,…) các em cần để ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bạn dạng kết hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))

ở đó, (fleft( x ight)) là hàm liên tục trên (left< a;b ight>) với (Fleft( x ight)) là một nguyên hàm của (fleft( x ight)).


*

Tính tích phân gồm chứa dấu cực hiếm tuyệt đối

Đối với những tích phân dạng (intlimits_a^b fleft( x ight) ight ), phương pháp chung là ta nỗ lực phá lốt giá trị tuyệt vời nhất hàm (fleft( x ight)) trên từng khoảng nhỏ tuổi nằm trong vòng (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt các tích phân đó.

Phương pháp biến hóa từ bí quyết tính tích phân

1. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ


Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức thay đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )

2. Một vài dạng toán thường gặp


Dạng 1: Tính tích phân bằng phương thức đổi đổi thay (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương thức đổi vươn lên là (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), thay đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến thay đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo cách làm (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức nên nhớ


Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )

2. Một số trong những bài toán hay áp dụng phương thức tích phân từng phần


Dạng 1: Tích phân gồm chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 2: Tích phân tất cả chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 3: Tích phân gồm chứa hàm con số giác với hàm nhiều thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 4: Tích phân bao gồm chứa hàm con số giác với hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

Xem thêm: Prescribed Là Gì ? Nghĩa Của Từ Prescribe

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Hy vọng với bài viết này để giúp ích bạn đạt công dụng cao.