Bài viết trình bày không thiếu các hệ thức lượng vào tam giác cùng một số dạng toán liên quan, trong những dạng toán, nội dung bài viết hướng dẫn chi tiết phương pháp giải toán, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đi kèm.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác
A. HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ gồm $a$, $b$, $c$ theo thứ tự là độ dài cha cạnh đối lập với bố góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.
1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài mặt đường trung đường của tam giác: call $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài những đường trung tuyến đường lần lượt vẽ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Các công thức tính diện tích tam giác: call $R$, $r$ lần lượt là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ với $S$ là diện tích s của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).
B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCDạng 1: Tính một trong những yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước (trong đó có tối thiểu một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ sử dụng định lí cosin với định lí sin.+ giám sát các nguyên tố trung gian (trước khi tính yếu đuối tố bắt buộc tìm) bằng các hệ thức lượng trong tam giác mê thích hợp.Chú ý: độc giả hãy ôn tập lại những hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học ở lớp 9).
Bài toán 1: mang lại tam giác $ABC$ tất cả $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính những cạnh cùng góc còn lại của tam giác.b) Tính diện tích s của tam giác.c) Tính con đường cao $h_a$ vẽ trường đoản cú $A$ của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$
Bài toán 2: đến tam giác $ABC$ bao gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính những cạnh và các góc còn lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của con đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta áp dụng định lí cosin lúc biết $2$ cạnh và góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta thực hiện định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh với góc đối lập cạnh đó.+ $1$ cạnh cùng $2$ góc kề với nó (lúc này ta công thêm được góc đối lập cạnh đó).– việc tìm kiếm các yếu tố của tam giác khi biết những yếu tố khác còn được gọi là giải tam giác.
Bài toán 3: cho tam giác $ABC$ có $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích s của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$
Dạng 2: chứng tỏ các hệ thức liên quan tới các yếu tố vào tam giác. Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng đã gồm và các tính chất, các yếu tố vào tam giác để hội chứng minh.
Bài toán: mang lại tam giác $ABC$ có những cạnh $a$, $b$, $c$, các đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ hội chứng minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$
Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = p – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương trường đoản cú ta chứng minh được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) phụ thuộc vào công thức tính diện tích s tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$
Dạng 3: thừa nhận dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác và những tính chất của những tam giác quánh biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ nếu như $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$+ trường hợp $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A.$+ trường hợp $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.
Bài toán 1: xác định dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$
Theo công thức Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có các góc và các cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ chứng tỏ tam giác $ABC$ là tam giác cân.
Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C.$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, các cạnh còn lại, mặt đường cao $h_a$ và nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$
Bài toán 2: hotline $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung tuyến ứng với những cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$
Bài toán 3: hotline $I$, $J$ theo lần lượt là trung điểm của những đường chéo $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, hội chứng minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) xác minh công thức tính đường chéo cánh $d$ của hình thang cân biết đáy nhỏ là $a$, đáy phệ là $b$ và kề bên là $c.$
Bài toán 4: minh chứng tập những điểm nhưng mà tổng những bình phương khoảng cách đến $2$ điểm thắt chặt và cố định $A$, $B$ mang lại trước bằng một số trong những không thay đổi $k^2$ là một trong những đường tròn.
Bài toán 5: đến tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$
Bài toán 6: điện thoại tư vấn $r_a$, $r_b$, $r_c$ theo lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ triệu chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).
Xem thêm: Cách Lấy Lại Tài Khoản Tiktok Bị Cấm Vĩnh Viễn Bằng Điện Thoại
Bài toán 7: mang đến tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$
Bài toán 8: đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) nếu như $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) nếu $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$
Bài toán 9: chứng tỏ điều kiện đề xuất và đủ để tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$
Bài toán 10: khẳng định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$
Bài toán 11: chứng tỏ rằng giả dụ $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.