Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức mà những em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng hay xuyên xuất hiện thêm trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Bài tập giải phương trình lớp 9


Có những dạng bài xích tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung tò mò cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó áp dụng giải một vài bài tập về phương trình đựng căn thức để rèn luyện tài năng giải toán.

I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ lúc giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện

* lấy một ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta có (ở bày này ta rất có thể rút gọn gàng hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- bởi vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x buộc phải pt khẳng định với phần nhiều giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* lấy một ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- khi đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa đk này, đề nghị ta KHÔNG dìm nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta bắt buộc kiểm tra biểu thức f(x).

+) nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- cách 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng giải pháp phân tích thành nhân tử mang đến pt tích).

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 yêu cầu ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x yêu cầu biểu thức xác minh với đầy đủ giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình bao gồm 2 nghiệm x = -1 cùng x = 5.

2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*

* phương pháp giải:

- cách 1: Viết đk của phương trình: 

*

- cách 2: nhấn dạng từng loại khớp ứng với những cách giải sau:

 ¤ các loại 1: ví như f(x) gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem về phương trình trị hoàn hảo để giải.

 ¤ một số loại 2: nếu như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: nếu như f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 4: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử đối chiếu f(x) cùng g(x) thành nhân tử, trường hợp chúng có nhân tử bình thường thì đặt nhân tử chung mang về phương trình tích.

- cách 3: soát sổ nghiệm tìm kiếm được có vừa lòng điều khiếu nại không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình có nghiệm x = 2.

* lấy ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế cần là dạng hàm bậc 1) đề xuất để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi kia ta bình phương 2 vế được:

*

*

- chất vấn x = -10 có vừa lòng điều kiện không bằng cách thay quý hiếm này vào các biểu thức đk thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện công việc sau:

- bước 1: Nếu f(x) cùng h(x) gồm chứa căn thì phải có đk biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức gửi phương trình về dạng pt trị tốt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét dấu trị hoàn hảo nhất (khử trị xuất xắc đối) để giải phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- mặt khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét các trường hợp để phá vệt trị hay đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình tất cả vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- nhấn thấy: 

*

*

- Đến phía trên xét các trường hòa hợp giải tương tự như ví dụ 1 làm việc trên.

4. Biện pháp giải một vài phương trình đựng căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình cất dấu căn.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi đó ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t đa số thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em đang học sinh hoạt nội dung bài bác chương sau).

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, lúc đó pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) gồm dạng ngơi nghỉ mục 2) một số loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 phải ta có:

*

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* lấy một ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu đk thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- đánh giá thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt bao gồm 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Cách Phân Biệt Dấu Lớn Dấu Bé ( < ), Chúng Tôi Là Giáo Viên Tiểu Học

ii) cách thức đánh giá bán biểu thức dưới vết căn (lớn hơn hoặc nhỏ dại hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 với c+d=e)

- PT hoàn toàn có thể cho tức thì dạng này hoặc gồm thể tách bóc một hệ số nào đó để có 2; 2 hay 2;