cực trị hàm nhiều biến đổi bài bác giảng rất trị hàm nhiều vươn lên là cực trị có đk cách tìm giá bán trị bé dại nhất biện pháp tìm giá chỉ trị lớn nhất cực trị có điều kiện hàm 2 phát triển thành
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆNXét 2 bài xích toán:Bài 1: Tìm cực trị2z 1 x yz 1 x2 y 22Cực đại đạt tại (0,0),z=1 Bài 2: Tìm rất trị z 1 x 2 y 2Thỏa điều kiện x + y – 1 = 02z 1 x y2 Bài 2: Tìm rất trị z 1 x 2 y 2Thỏa đk x + y – 1 = 02z 1 x y2z 1 / 2x+y–1=0Cực đại đạt tại (1/2, 1/2), Định nghĩa:Hàm số z = f(x, y) thỏa đk (x, y) =0 đạt cực đại tại M0 nếu tồn trên 1 sát bên Vcủa M0 sao chof(M) f(M0), MV cùng (M) = 0Tương tự đến định nghĩa rất tiểu tất cả điều kiện. Điều kiện phải của rất trị gồm điều kiệnGiả sử f, khả vi trong lân cận của M0(x0, y0)và22 x (M0 ) y (M0 ) 0,Nếu f đạt rất trị trên M0 với điều kiện = 0 thìtồn trên R sao chofx (M0 ) x (M0 ) 0( )fy (M0 ) y (M0 ) 0 (M0 ) 0 : nhân tử Lagrange fx (M0 ) x (M0 ) 0fy (M0 ) y (M0 ) 0 (M0 ) 0( )1.M0 thỏa hệ () gọi là điểm dừng trong bàitoán rất trị gồm điều kiện, cũng call là điểmdừng của hàm LagrangeL(x,y) = f(x, y) + (x, y)2. D(M0) = 0 ( dx và dy liên kết với nhautheo hệ thức này) Điều kiện đủ của cực trị gồm điều kiệnGiả sử f, có các đhr đến cấp cho 2 tiếp tục tronglân cận của M0(x0, y0) với M0 là điểm dừng củaL(x,y),222d L(M0 ) Lxx (M0 )dx 2Lxy (M0 )dxdy Lyy (M0 )dy1.Nếu d2L(M0) xác minh dương thì f đạt cựctiểu có đk tại M0.2.Nếu d2L(M0) khẳng định âm thì f đạt cực đạicó điều kiện tại M0. Các bước tìm cực trị có đk hàm 2 biếnLoại 1: điều kiện số 1 theo x, y( tìm kiếm trênđường thẳng)(x, y) = ax + by + c = 0 mang đến cực trị hàm 1 đổi mới khi thay y theo xtrong f. Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử LagrangeL(x,y) = f(x,y) + (x,y)Lx (M0 ) 0B1: tìm trạm dừng của L(x, y) : Ly (M0 ) 0 (M0 ) 0B2: xét lốt d2L tại M0 tất cả kèm đk d(M0) = 0•Xác định dương: cực tiểu•Xác định âm: cực đại VÍ DỤ1/ Tìm rất trịz 1 4 x 8y22thỏa đk ( x , y ) x 8y 8 0L(x,y) = f(x, y) + (x, y)= 1 – 4x – 8y + (x2 – 8y2 – 8 )Lx 4 2 x 0x4,y1,1/2Ly 8 16 y 0 2 x 4, y 1, 1 / 22 x 8y 8 Điểm dừng: x 4, y 1, 1/ 2 x 4, y 1, 1 / 2 2 , Lxy 0, Lyy 16 , d 2 xdx 16ydyLxxTại M1(- 4, 1), = -1/2d 2L( 4,1) dx 2 8dy 2d ( 4,1) 8dx 16dy 0d 2L( 4,1) 4dy 2 8dy 2 4dy 2 0 dx 2dy M1 là điểm cực tiểu có đk của f, f(M1) = 9 2 , Lxy 0, Lyy 16 , d 2 xdx 16ydyLxxTại M1(4, -1), = 1/2d 2L(4, 1) dx 2 8dy 2d (4, 1) 8dx 16dy 0d 2L( 4,1) 4dy 2 8dy 2 4dy 2 0 dx 2dy m2 là điểm cực to có đk của f, f(M2) = 7 22 ( x , y ) x 8y 8 0z 1 4 x 8y 2/ Tìm cực trịthỏa điều kiệnz xy22xy ( x , y ) 1 082z xy x2 y 2 L( x , y ) xy 12 8Điểm dừng của L là n0 hệ:xLx ( x , y ) y 04Ly ( x , y ) x y 0 22xy 1 0 82 2,( x , y ) (2, 1) xuất xắc ( x , y ) ( 2,1) 2,( x , y ) (2,1) tuyệt ( x , y ) ( 2, 1) x , Lxy 1, Lyy , d ( x , y ) dx ydyLxx44Tại P1(2, -1), = 2d 2L(P ) 1 dx 2 2dy 2 2dxdy12d (P1 ) 1 dx dy 02d 2L(P1 ) 8dy 2 0 dx 2dyVậy f đạt cực tiểu có đk trên P1, f(P1) = -2.Tương tự tại P2(-2, 1) x , Lxy 1, Lyy , d ( x , y ) dx ydyLxx44Tại P3(2, 1), = - 2d 2L(P ) 1 dx 2 2dy 2 2dxdy12d (P1 ) 1 dx dy 02d 2L(P1 ) 8dy 2 0 dx 2dyVậy f đạt cực to có đk trên P3, f(P3) = 2.Tương tự tại P4(-2, -1) 3/ Tìm rất trị z f ( x , y ) 1 x 2 y 2thỏa đk x + y – 1 = 0x+y–1=0y=1–x z 2x 2x2Bài toán thay đổi tìm rất trị của z cùng với x (0, 1)1 2xz( x ) 22x 2xz’ đổi dấu từ + thanh lịch – khi đi qua x = 50% , nênz đạt cđại tại x = 1/2 fcd 1 / 2Vậy f đạt cđại có điều kiện tại (x,y) = (1/2, 1/2). GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤTĐịnh lý: f liên tục trên tập compact D thì fđạt min, max bên trên D.Nhắc lại: tập compact là tập đóng (lấy tấtcả các biên) với bị chận (có thể được baobởi 1 hình tròn) Cách tìm kiếm gtln, gtnn1.Tìm trạm dừng của f trên miền mở của D(phần quăng quật biên).2.Tìm những điểm đặc trưng trên biên của Da.Điểm ngừng của hàm Lagrange (tổng quát).b.Nếu biên là đoạn thẳng, chuyển f về hàm1 biến, tìm các điểm có khả năng đạt min,max của hàm 1 phát triển thành này.3.So sánh quý hiếm của f tại những điểm trên min, max VÍ DỤ1/ bên trên tam giác OAB, cùng với O(0, 0), A(0, 1) vàB(1, 0), tìm các điểm M(x, y) bao gồm tổng bìnhphương khoảng cách đến các đỉnh là lớnnhất, nhỏ nhắn nhất.22222OM x y ,Ax+y = 12AM x ( y 1) ,BM 2 ( x 1) 2 y 2OBĐặt z = OM2 + AM2 + BM2 22 z f ( x , y ) 3x 3y 2 x 2y 2Bài toán trở thành: tìm gtln, gtnn của z trênD: x 0, y 0, x+y 1Điểm dừng của z = f(x, y) trên miền mở củaD là nghiệm hệfx 6 x 2 01 1 ( x , y ) , fy 6 y 2 0 3 3 x 0, y 0, x y 1 Xét bên trên biên D22z 3x 3y 2 x 2 y 2OA: x = 0, 0 y 1, z = 3y2 – 2y + 2z’(y) = 6y – 2 = 0 y = 1/3 những điểm sệt biệt: (0,0), (0,1), (0,1/3)AOB: y = 0, 0 x 1, z = 3x2 – 2x +2x+y = 1OBz’(x) = 6x – 2 = 0 x = 1/3 những điểm đặc biệt:(0,0), (1,0), (1/3,0) 22z f ( x , y ) 3x 3y 2 x 2y 2AB: y = 1 – x, 0 x 1, z = 6x2 – 6x + 3z’(x) = 12x – 6 = 0 x = 1/2 các điểm sệt biệt: (1/2,1/2), (0,1), (1,0)Tính f tại các điểm được chỉ raf 1 3,1 3 4 3, f (0,0) 2, f (0,1) 3, f (1,0) 3f (0,1 3) 5 3, f (1 3,0) 5 3, f (1 2,1 2) 3 2Vậy fmin = f(1/3,1/3) = 4/3,fmax = f(1,0)= f(0,1) = 3 2/ tìm kiếm gtln, gtnn của z = f(x, y) = x2 + y2–3x+ 4ytrên hình trụ D: x2 + y2 1Điểm ngừng của z = f(x, y) trênmiền mở của D là nghiệm hệfx 2 x 3 0( x , y ) (3 2, 2)22f2y40yx y 1 22(loại)x y 1Trên biên D: x2 + y2 = 1, xét hàm Lagrange2222L( x , y ) x y 3x 4y ( x y 1) Điểm quan trọng trên biên là vấn đề dừng của222L ( x , y ) x y 3x 4 y ( xLx ( x , y ) 2 x 3 2 x 0Ly ( x , y ) 2 y 4 2 y 0 22 x y 1 04 3 ( x , y ) , tốt ( x , y ) 5 5(Không đề xuất chỉ ra .)4 f ,52 y 1)4 3, 5 53194 3 29 , f , 55 5 5 5 z = f(x, y) = x2 + y2 – 3x + 4y
