Nội dung bài giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp các bạn tìm gọi về định nghĩa, nghịch ảnh, toàn ánh, đối chọi ánh, tuy vậy ánh, hình ảnh xạ ngược, ảnh xạ hợp. Mời các bạn cùng tham khảo!


1. Định nghĩa

2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, chi phí ảnh)

3. Toàn ánh

4. Đơn ánh

5. Song ánh

6. Ảnh xạ ngược

7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

8. Định nghĩa


Cho hai tập hòa hợp (X,Y e emptyset), một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x (in) X cùng với duy nhất phần tử y (in) Y được gọi là một trong những ánh xạ từ X vào Y.

Bạn đang xem: Ánh xạ là gì

Ký hiệu: f : X →Y

(x, mapsto y = f(x))

Khi kia X call là tập phù hợp nguồn (miền xác định) và Y điện thoại tư vấn là tập phù hợp đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là một trong ánh xạ giả dụ mọi thành phần của X hồ hết có hình ảnh duy duy nhất ((in) Y)

Ánh xạ f : X → R với(X subset R) được gọi là 1 hàm số thực với đổi thay số thực số thực.


Cho ánh xạ f : X→ Y

(A subset X), hình ảnh của tập A là(f(A) = left x in A ight. ight\)

Ảnh ngược của(B subset Y) là(f^ - 1(B) = left x in Xleft ight\)

Đặc biệt khi(B = left y ight subset Y) ta viết(f^ - 1( y ) = f^ - 1(y) = left f(x) = y ight. ight\)

(x in f^ - 1(y))được hotline là ảnh ngược của y

Ví dụ: mang đến f : R→ R, f(x) = x2 cùng B = -5, 2, 4, 9, 0

Thì

(eginarrayl f^ - 1left( B ight) = m left pm sqrt 2 , pm 2, pm 3,0 ight\ f^ - 1left( 169 ight) = left pm 13 ight;f^ - 1left( - 3 ight) = m emptyset \ f^ - 1left( 2 ight) = left pm sqrt 2 ight;f^ - 1left( - 5 ight) = emptyset endarray)


3. Toàn ánh:


Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi còn chỉ khi f(X) = Y.

Ta có:

(f(X) = Y Leftrightarrow forall y in Y,exists in X:f(x) = y)

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có tối thiểu một nghiệm.

( Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) e emptyset)

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x2 ko là toàn ánh vì(f^ - 1( - 2) = emptyset) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh bởi (forall y in R^ + ), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn luôn có nghiệm(x = pm sqrt y)

Nhận xét: trả sử f : X → Y là toàn ánh cùng X, Y là tập hòa hợp hữu hạn thì thẻ X > thẻ Y.


4. Đơn ánh


Cho ánh xạ f: X → Y.

f là đối chọi ánh(forall x_1,x_2 in X,va,x_1 e x_2 Rightarrow f(x_1) e f(x_2))

Ta có: f là đối kháng ánh

“( Leftrightarrow forall x_1,x_2 in X) và f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2”

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có rất nhiều nhất là một nghiệm”

(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) = emptyset)hay(f^ - 1(y)) có đúng một trong những phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x2 không là 1-1 ánh vày f(-2) = f(2) = 4

f : R+ →R tốt R- → R, f(x) = x2 là solo ánh

f : R →R,(f(x) = frac3x - 57) là đơn ánh vì

(eginarrayl forall x_1x_2 in R,,va,,f(x_1) = f(x_2)\ Leftrightarrow frac3x_1 - 57 = frac3x_2 - 57 Leftrightarrow x_1 = x_2 endarray)


5. Tuy nhiên ánh:


Cho ánh xạ f: X→ Y.

f là song ánh ⇔f là đối kháng ánh cùng f là toàn ánh.

Ta có: f là tuy vậy ánh

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình f(x) = y gồm duy tốt nhất nghiệm


(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y))có duy nhất một trong những phần tử.

Ví dụ:

(f:R o R;,f(x) = frac3x - 57)là tuy vậy ánh vì(forall y in R), phương trình(y = frac3x - 57)có nghiệm duy nhất(x = frac7x + 53)


6. Ảnh xạ ngược:


Nếu f : X → Y là tuy vậy ánh(x mapsto f(x))thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược của f :

(eginarrayl f^ - 1:Y o X\ y = f(x) mapsto x = f^ - 1(y) endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ + o R^ + ,f(x) = x^2\ (y = x^2 Leftrightarrow x = sqrt y ,x,y ge 0)\ f^ - 1(y) = sqrt y (x,y ge 0),,hay,f^ - 1(x) = sqrt x , endarray )

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ - o R^ + ,f(x) = x^2\ f^ - 1(y) = - sqrt y ,,hay,f^ - 1(x) = - sqrt x , endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R o R^ + ackslash 0 ;f(x) = 3^x\ f^ - 1:R^ + ackslash 0 o R,,hay,f^ - 1(x) = log _3x endarray )


7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)


Cho nhị ánh xạ f : X → Y cùng g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa h(x) = g,(forall x in X)

Ký hiệu: h = gof được call là ánh xạ đúng theo (ánh xạ tích) của f cùng g.

Xem thêm: Tổng Hợp Biển Số Xe Các Tỉnh Miền Tây, Tổng Hợp Biển Số Xe Các Tỉnh Thành Việt Nam

Ví dụ:

(eginarrayl f:R o <5; + infty ),f(x) = x^2 + 5\ g:,<5; + infty ) o R^ - ,,g(x) = - sqrt x + 2 endarray)

Thì(g_of(x) = g(x^2 + 5) = - sqrt (x^2 + 5) + 2 = - sqrt x^2 + 7)

Ví dụ:(f,g:R o R;f(x) = 3x^2 - x;,,g(x) = frac2x + 54)

Thì

(g_of(x) = g(3x^2 - x) = frac2(3x^2 - x) + 54 = frac6x^2 - 2x + 54)

(f_og(x) = fleft( frac2x + 54 ight) = 3left( frac2x + 54 ight)^2 - frac2x + 54 = frac12x^2 + 52x + 5516)

Nhận xét:

Thông thường,(g_of e f_og)(left( g_of ight)^ - 1 = f^ - 1_og^ - 1)(giả sử f, g là tuy nhiên ánh)(f^ - 1_of^ - 1(y) = y,forall y in Y)(f:X → Y là tuy nhiên ánh)(f^ - 1_of^ - 1(x) = x,forall x in X)(f:X → Y là tuy vậy ánh)Giả sử(f_o(g_oh)) tồn tại, ta có:((f_og)_oh = f_o(g_oh))

8. Định nghĩa


Một tập A được nói là hữu hạn và gồm n bộ phận nếu lâu dài một tuy nhiên ánh thân A với tập con 1, 2, 3,..., n của N . Khi đó, ta viết: CardA = n tuyệt |A| = n.Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng trường hợp tồn trên một tuy vậy ánh từ A vào B.Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một tuy nhiên ánh thân A với tập nhỏ N của N . Khi đó, ví như N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói giải pháp khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được ví như tồn tại một tuy nhiên ánh giữa A với tập N .