Nội dung bài học sẽ giúp các em chũm được khái niệm, cách xác minh góc giữa hai phương diện phẳng, mối tương tác của diện tích đa giác với hình chiếu của nó, các điều kiện để nhị mặt phẳng vuông góc nhau. Hình như là những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập tương quan đến xác định góc thân hai phương diện phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: 2 mp vuông góc


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai mặt phẳng

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp mọi và hình chóp cụt đều

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 4 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai khía cạnh phẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và cải thiện vềHai phương diện phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học 11


a) Định nghĩa

Góc giữa hai phương diện phẳng là góc giữa hai tuyến đường thẳng lần lượt vuông góc với nhị mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu nhị mặt phẳng tuy vậy song hoặc trùng nhauthì ta bảo rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bởi 0o.

b) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Cho nhị mặt phẳng (P) với (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kỳ thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi kia góc thân hai mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a với b.

*

c) diện tích s hình chiếu của một nhiều giác

Với S là diện tích đa giác phía trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác kia trên (Q),(varphi)là góc giữa (P) cùng (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).


1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai phương diện phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu như góc thân chúng bởi 90o.

b) những định lýĐịnh lý 1:Nếu một mặt phẳng chứa một con đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng không giống thì nhì mặt phẳng kia vuông góc với nhau.

*

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

Hệ trái 1: giả dụ hai phương diện phẳng (P) và (Q) vuông góc cùng nhau thì bất cứ đường trực tiếp a nào bên trong (P), vuông góc với giao con đường của (P) cùng (Q) đầy đủ vuông góc với mặt phẳng (Q).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

Hệ trái 2: giả dụ hai khía cạnh phẳng (P) với (Q) vuông góc với nhau cùng A là 1 trong những điểm vào (P) thì con đường thẳng a đi qua điểm A với vuông góc cùng với (Q) sẽ phía bên trong (P).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

Hệ trái 3:Nếu nhì mặt phẳng giảm nhau và thuộc vuông góc với phương diện phẳng thứ tía thì giao tuyến đường của bọn chúng vuông góc với mặt phẳng lắp thêm ba.

*

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))


1.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương


a) Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có kề bên vuông góc với đáy.

Nhận xét: những mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật cùng vuông góc với khía cạnh đáy.

*
*

b) Hình lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đông đảo là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ phần đông là phần lớn hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với phương diện đáy.

*

c) Hình vỏ hộp đứng

Định nghĩa: Hình vỏ hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng bốn mặt mặt đều là hình chữ nhật.

*

d) Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng gồm đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 phương diện của hình hộp chữ nhật mọi là hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

*


1.4. Hình chóp phần lớn và hình chóp cụt đều


a) Hình chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được điện thoại tư vấn là hình chóp hầu hết nếu đáy của chính nó là đa giác phần đa và các ở kề bên bằng nhau.

*

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ tự đỉnh hotline là đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp hầu hết đáy của nó là đa giác các và chân mặt đường cao của hình chóp trùng với trung ương của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp hồ hết đáy của nó là đa giác đều và các bên cạnh tạo voéi mặt dưới các góc bởi nhau.

b) Hình chóp cụt

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp hầu như bởi 1 mặt phẳng song song với lòng để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

*

Nhận xét:

Hai lòng của hình chóp cụt rất nhiều là 2 đa giác những đồng dạng với nhau.Đoạn nối trung ương 2 lòng được call là đường cao của hình chóp cụt đều.Trong hình chóp cụt đều những mặt bên là đều hình thang thăng bằng nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bởi a. Tính số đo của góc thân (BA’C) và (DA’C).

Hướng dẫn giải:

*

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bh = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân nặng AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) với (AB’I).

Hướng dẫn giải:

*

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên khía cạnh phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai khía cạnh phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Hướng dẫn giải:

*

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân nặng tại A và O là trung điểm của AC cần SO là con đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). điện thoại tư vấn M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC cùng BM. Chứng tỏ rằng:((SAC) ot (SMB).)

Lời giải:

*

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: De Thi Học Kì 1 Lớp 2 Môn Toán Lớp 2 Năm 2021, Top 12 Đề Thi Học Kì 1 Lớp 2 Môn Toán Năm 2021

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ từ bỏ (1) và (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)